Obtenha a derivada de ordem 4 da função f(x)=e^-2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada de quarta ordem da função . Isso está ligado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e entender como aplicar a regra das derivadas múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a derivada de uma função exponencial. Se você tem uma função da forma , onde é uma constante, a primeira derivada é . Essa regra se repete para derivadas de ordem superior.

Passo 3

No nosso caso, a função é f'(x) = -2 e^-2x . Aqui, . Então, a primeira derivada será:
Isso significa que a cada derivada, multiplicamos a função original por .

Passo 4

Vamos continuar derivando passo a passo até chegarmos à quarta derivada:
  • Segunda derivada:
f''(x) = (-2)^2 e^-2x = 4 e^-2x
  • Terceira derivada:
f'''(x) = (-2)^3 e^-2x = -8 e^-2x
  • Quarta derivada:
f''''(x) = (-2)^4 e^-2x = 16 e^-2x

Resposta

A derivada de ordem quatro da função f''''(x) = 16, e^-2x é:

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