Seja
um operador linear cujo polinômio característico é
Determine
e as possíveis formas canônicas de Jordan de
.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio característico
e pede duas coisas: (i) determinar
; (ii) listar as possíveis formas canônicas de Jordan do operador linear
.
As informações relevantes que o enunciado nos dá (diretamente do polinômio):
- Os autovalores são
, e . - As multiplicidades algébricas (os expoentes no polinômio) são: para
é ; para é ; para é .
Passo 2
Conceitos essenciais (explicação didática, passo a passo, sem pular etapas):
- Grau do polinômio característico e dimensão do espaço:
- O polinômio característico de um operador linear em espaço de dimensão
tem grau . Logo o grau de é justamente . - Aqui
é produto de fatores cujo grau somado é . Assim o grau de é . (Guarde esse número: é a dimensão do espaço, explico a conclusão final no
Passo 3
Aplicando as ideias aos autovalores dados:
-
Para
: multiplicidade algébrica é . Logo só existe um bloco de Jordan (um bloco — único possível). -
Para
: multiplicidade algébrica é . Os blocos de Jordan associados a formam uma partição do inteiro . As partições de (isto é, as formas como se pode somar inteiros positivos para obter , que correspondem aos possíveis tamanhos de blocos) são: -
(um bloco de tamanho ); -
(um bloco de tamanho e um bloco de tamanho ); -
(três blocos de tamanho ).
Cada uma dessas partições corresponde a uma possibilidade diferente de estrutura de Jordan para o autovalor. O número de blocos (1, 2 ou 3) é a multiplicidade geométrica de nesses casos.
-
-
Para
: mesma análise, pois a multiplicidade algébrica também é . As partições possíveis são novamente , ou . Cada escolha produz uma estrutura distinta de blocos para .
Passo 4
Combinações totais:
- As escolhas para
e para são independentes entre si (apenas combinam em bloco diagonal junto com o bloco de que é fixo). Portanto, o número total de formas canônicas possíveis é o produto do número de partições de para cada autovalor e : possibilidades distintas.
Passo 5
Informação extra útil (como identificar a partir do polinômio minimal, caso pedissem):
- Para cada autovalor, o expoente de
no polinômio minimal é o tamanho do maior bloco de Jordan para . Assim, se soubéssemos o polinômio minimal, poderíamos reduzir as 9 possibilidades às que têm os maiores blocos compatíveis. Aqui o enunciado só deu o polinômio característico, então todas as 9 combinações permanecem possíveis.
Passo 6
Resumo do que fizemos (prévia do que será dada explicitamente na resposta final):
- Determinamos o grau do polinômio (igual a
). - Listamos as partições possíveis para as multiplicidades algébricas
e . - Concluímos que há
formas possíveis de Jordan, cada uma dada por um somatório direto de blocos para os autovalores com tamanhos somando respectivamente.
Resposta
As possíveis formas canônicas de Jordan de
(cada uma escrita como soma direta de blocos de Jordan
) são as nove combinações obtidas escolhendo para
uma das partições de
e para
uma das partições de
; em todas elas aparece também
. Explicitamente:
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
(Em cada caso o bloco
é o único bloco associado a
.)