Seja T: V \longrightarrow V um operador linear cujo polinômio característico é
P(\lambda)=-(\lambda-3)^{3}(\lambda-1)^{3}(\lambda+5) .
Determine \operatorname{dim} V e as possíveis formas canônicas de Jordan de T.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio característico
P(\lambda)=-(\lambda-3)^{3}(\lambda-1)^{3}(\lambda+5)
e pede duas coisas: (i) determinar \dim V; (ii) listar as possíveis formas canônicas de Jordan do operador linear T:V\to V.
As informações relevantes que o enunciado nos dá (diretamente do polinômio):
  • Os autovalores são \lambda=3, \lambda=1 e \lambda=-5.
  • As multiplicidades algébricas (os expoentes no polinômio) são: para \lambda=3 é 3; para \lambda=1 é 3; para \lambda=-5 é 1.

Passo 2

Conceitos essenciais (explicação didática, passo a passo, sem pular etapas):
  1. Grau do polinômio característico e dimensão do espaço:
  • O polinômio característico de um operador linear em espaço de dimensão n tem grau n. Logo o grau de P(\lambda) é justamente \dim V.
  • Aqui P(\lambda) é produto de fatores cujo grau somado é 3+3+1=7. Assim o grau de P é 7. (Guarde esse número: é a dimensão do espaço, explico a conclusão final no

Passo 3

Aplicando as ideias aos autovalores dados:
  • Para \lambda=-5: multiplicidade algébrica é 1. Logo só existe um bloco de Jordan J_1(-5) (um bloco 1\times1 — único possível).
  • Para \lambda=3: multiplicidade algébrica é 3. Os blocos de Jordan associados a \lambda=3 formam uma partição do inteiro 3. As partições de 3 (isto é, as formas como se pode somar inteiros positivos para obter 3, que correspondem aos possíveis tamanhos de blocos) são:
    • 3 (um bloco de tamanho 3);
    • 2+1 (um bloco de tamanho 2 e um bloco de tamanho 1);
    • 1+1+1 (três blocos de tamanho 1).
      Cada uma dessas partições corresponde a uma possibilidade diferente de estrutura de Jordan para o autovalor \lambda=3. O número de blocos (1, 2 ou 3) é a multiplicidade geométrica de \lambda=3 nesses casos.
  • Para \lambda=1: mesma análise, pois a multiplicidade algébrica também é 3. As partições possíveis são novamente 3, 2+1 ou 1+1+1. Cada escolha produz uma estrutura distinta de blocos para \lambda=1.

Passo 4

Combinações totais:
  • As escolhas para \lambda=3 e para \lambda=1 são independentes entre si (apenas combinam em bloco diagonal junto com o bloco de -5 que é fixo). Portanto, o número total de formas canônicas possíveis é o produto do número de partições de 3 para cada autovalor 3 e 1: 3\times 3 = 9 possibilidades distintas.

Passo 5

Informação extra útil (como identificar a partir do polinômio minimal, caso pedissem):
  • Para cada autovalor, o expoente de (\lambda-\lambda_0) no polinômio minimal é o tamanho do maior bloco de Jordan para \lambda_0. Assim, se soubéssemos o polinômio minimal, poderíamos reduzir as 9 possibilidades às que têm os maiores blocos compatíveis. Aqui o enunciado só deu o polinômio característico, então todas as 9 combinações permanecem possíveis.

Passo 6

Resumo do que fizemos (prévia do que será dada explicitamente na resposta final):
  • Determinamos o grau do polinômio (igual a \dim V).
  • Listamos as partições possíveis para as multiplicidades algébricas 3 e 3.
  • Concluímos que há 9 formas possíveis de Jordan, cada uma dada por um somatório direto de blocos J_k(\lambda) para os autovalores 3,1,-5 com tamanhos somando 3,3,1 respectivamente.

Resposta

\dim V = 7
As possíveis formas canônicas de Jordan de T (cada uma escrita como soma direta de blocos de Jordan J_k(\lambda)) são as nove combinações obtidas escolhendo para \lambda=3 uma das partições de 3 e para \lambda=1 uma das partições de 3; em todas elas aparece também J_1(-5). Explicitamente:
  1. \;J_{3}(3)\oplus J_{3}(1)\oplus J_{1}(-5).
  2. \;J_{3}(3)\oplus \bigl(J_{2}(1)\oplus J_{1}(1)\bigr)\oplus J_{1}(-5).
  3. \;J_{3}(3)\oplus \bigl(J_{1}(1)\oplus J_{1}(1)\oplus J_{1}(1)\bigr)\oplus J_{1}(-5).
  4. \;\bigl(J_{2}(3)\oplus J_{1}(3)\bigr)\oplus J_{3}(1)\oplus J_{1}(-5).
  5. \;\bigl(J_{2}(3)\oplus J_{1}(3)\bigr)\oplus \bigl(J_{2}(1)\oplus J_{1}(1)\bigr)\oplus J_{1}(-5).
  6. \;\bigl(J_{2}(3)\oplus J_{1}(3)\bigr)\oplus \bigl(J_{1}(1)\oplus J_{1}(1)\oplus J_{1}(1)\bigr)\oplus J_{1}(-5).
  7. \;\bigl(J_{1}(3)\oplus J_{1}(3)\oplus J_{1}(3)\bigr)\oplus J_{3}(1)\oplus J_{1}(-5).
  8. \;\bigl(J_{1}(3)\oplus J_{1}(3)\oplus J_{1}(3)\bigr)\oplus \bigl(J_{2}(1)\oplus J_{1}(1)\bigr)\oplus J_{1}(-5).
  9. \;\bigl(J_{1}(3)\oplus J_{1}(3)\oplus J_{1}(3)\bigr)\oplus \bigl(J_{1}(1)\oplus J_{1}(1)\oplus J_{1}(1)\bigr)\oplus J_{1}(-5).
(Em cada caso o bloco J_{1}(-5) é o único bloco associado a \lambda=-5.)

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