Seja A \in M_{5}(\mathbb{R}) com polinômio característico e minimal
p(\lambda)=-(\lambda-2)^{3}(\lambda+7)^{2} \text { e } m(\lambda)=(\lambda-2)^{3}(\lambda+7)
Determine a forma canônica de Jordan de A.

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz A \in M_{5}(\mathbb{R}) e fornece os polinômios característico e minimal:
p(\lambda)=-(\lambda-2)^{3}(\lambda+7)^{2}
m(\lambda)=(\lambda-2)^{3}(\lambda+7)
O que o problema pede: determinar a forma canônica de Jordan de A, ou seja, escrever a matriz de Jordan J à qual A é similar.
Informações relevantes dadas:
  • O autovalor \lambda=2 aparece com multiplicidade algébrica 3 (tirado de p(\lambda)).
  • O autovalor \lambda=-7 aparece com multiplicidade algébrica 2.
  • No polinômio minimal, o fator relativo a \lambda=2 tem expoente 3.
  • No polinômio minimal, o fator relativo a \lambda=-7 tem expoente 1.

Passo 2

Vou explicar a ferramenta principal que usamos aqui (sem pular etapas): relação entre blocos de Jordan e o polinômio minimal.
  • Uma única bloco de Jordan de tamanho k associado ao autovalor \lambda_0 tem polinômio minimal (\lambda-\lambda_0)^{k}. Ou seja, se houver um bloco J_{k}(\lambda_0), então é necessário que o fator (\lambda-\lambda_0)^{k} apareça no polinômio minimal de toda a matriz.
  • Para uma matriz que tem vários blocos de Jordan para o mesmo autovalor, o polinômio minimal contém o fator (\lambda-\lambda_0)^{s} onde s é o maior tamanho entre esses blocos (porque o polinômio minimal é o mínimo comum múltiplo dos polinômios minimais de cada bloco).
  • Portanto, o expoente de (\lambda-\lambda_0) em m(\lambda) indica exatamente o tamanho do maior bloco de Jordan correspondente ao autovalor \lambda_0.
Vou usar essas ideias para cada autovalor.

Passo 3

Trabalhando com o autovalor \lambda=2:
  • Da etapa 1, a multiplicidade algébrica de 2 é 3.
  • Do polinômio minimal, o expoente de (\lambda-2) é 3. Pela observação do passo anterior, isso significa que o maior bloco de Jordan associado a 2 tem tamanho 3.
  • Como a soma dos tamanhos dos blocos de Jordan para o autovalor 2 deve ser igual à multiplicidade algébrica 3, e já sabemos que existe um bloco de tamanho 3, as únicas partições de 3 possíveis são:
    • 3 (um bloco de tamanho 3),
    • ou 2+1 (um bloco de tamanho 2 e um de tamanho 1),
    • ou 1+1+1.
  • Mas as últimas duas opções têm maior bloco de tamanho 2 ou 1, contradizendo o fato de que o maior bloco tem tamanho 3. Logo a única possibilidade compatível com o polinômio minimal é um único bloco de Jordan de tamanho 3 para \lambda=2.
  • Conclusão: os blocos de Jordan relativos a \lambda=2 são exatamente um bloco J_{3}(2).

Passo 4

Trabalhando com o autovalor \lambda=-7:
  • A multiplicidade algébrica de -7 é 2.
  • No polinômio minimal, o fator (\lambda+7) aparece com expoente 1. Portanto o maior bloco de Jordan para -7 tem tamanho 1.
  • Se o maior bloco tem tamanho 1 e a soma dos tamanhos deve ser 2, isso implica que os blocos para -7 são dois blocos 1\times1, isto é, duas entradas escalares -7 na diagonal (dois blocos J_{1}(-7)).
  • Conclusão: os blocos de Jordan relativos a \lambda=-7 são J_{1}(-7) e J_{1}(-7).

Passo 5

Juntando tudo: a forma de Jordan de A é a matriz bloco-diagonal composta de
  • um bloco J_{3}(2) (uma Jordan block 3\times 3 com \,2 na diagonal e 1 na superdiagonal),
  • dois blocos J_{1}(-7) (escalares -7).
Posso escrever explicitamente a matriz de Jordan J (ordenando os blocos na ordem conveniente) como uma matriz 5\times5:
J=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -7 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & -7 \end{pmatrix}.
Isto significa que existe uma matriz invertível S tal que A = S J S^{-1}.]

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -7 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & -7 \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados