Ache todos os números para os quais f é contínua.
40 f(x)-\sqrt{(2+x)(3-x)}

Passo 1

O enunciado pede: “Ache todos os números para os quais f é contínua.” Em seguida aparece a expressão
40 f(x)-\sqrt{(2+x)(3-x)}
Informações que o enunciado nos dá (literalmente):
  • Existe a expressão acima, que envolve f(x), multiplicada por 40 e subtraída de \sqrt{(2+x)(3-x)}.
  • Não há, no enunciado fornecido, uma igualdade do tipo 40 f(x)-\sqrt{(2+x)(3-x)}=\text{algo} nem uma definição explícita de f(x).
Pergunta do enunciado:
  • “Para quais números x a função f é contínua?”
Observação importante (por isso a resolução precisa parar aqui se o enunciado for exatamente como veio): com apenas a expressão 40 f(x)-\sqrt{(2+x)(3-x)} e sem dizer qual é a relação (por exemplo, se isso é igual a zero, ou se isso é a definição de f(x), ou se f é dada de outra forma), não há uma definição completa de f. Portanto não é possível determinar de forma única e definitiva o conjunto de pontos de continuidade de f sem essa informação complementar.
Não vou pedir que você me informe mais nada (conforme combinado), mas vou agora fazer duas coisas úteis para você estudar e para a prova:
  1. Explicar o que seria necessário e como proceder para decidir os pontos de continuidade.
  2. Tratar o caso plausível e muito comum em exercícios, que é a interpretação natural: assumir que a intenção era definir f por
40f(x)=\sqrt{(2+x)(3-x)}
ou, equivalente,
f(x)=\dfrac{1}{40}\sqrt{(2+x)(3-x)}.
Vou analisar detalhadamente esse caso, porque provavelmente é isso que o professor quis dizer e porque é um bom exercício para aprender os conceitos necessários.

Passo 2

Conceito básico necessário — domínio de uma raiz quadrada:
  • A função raiz quadrada \sqrt{t} está definida apenas para t\ge 0.
  • Então, se aparecer \sqrt{(2+x)(3-x)}, primeiro passo é exigir que o radicando seja não negativo:
(2+x)(3-x)\ge 0.
Vamos resolver essa desigualdade passo a passo (aquele tipo de conta que você precisa saber fazer rápido na prova).
Passos para resolver (2+x)(3-x)\ge 0:
  1. Expandir para identificar o polinômio (opcional, mas ajuda a ver o formato):
(2+x)(3-x) = -x^2 + x + 6.
  1. Encontrar as raízes (os pontos onde o produto é zero):
(2+x)(3-x)=0 \iff x=-2 \quad\text{ou}\quad x=3.
  1. Fazer o estudo de sinal. Como a expressão é um produto de dois fatores lineares (x+2) e (3-x), o produto será:
  • positivo quando os fatores têm o mesmo sinal,
  • zero nas raízes,
  • negativo quando têm sinais opostos.
Melhor forma prática: observar a reta numérica com as raízes -2 e 3. Testando intervalos:
  • Para x<-2: x+2<0 e 3-x>0 ⇒ produto \le 0 (na verdade negativo).
  • Para -2\le x\le 3: x+2\ge0 e 3-x\ge0 ⇒ produto \ge0.
  • Para x>3: x+2>0 e 3-x<0 ⇒ produto negativo.
Conclusão do domínio do radicando:
(2+x)(3-x)\ge0 \iff x\in[-2,\,3].

Passo 3

Continuidade da composição envolvida:
  • Fato importante: polinômios são contínuos em toda a reta real. Logo a função p(x)=(2+x)(3-x) é contínua para todo x\in\mathbb{R}.
  • A função \sqrt{t} é contínua em todo t\ge0.
  • Composição de funções contínuas (quando faz sentido) é contínua: se p é contínua e \sqrt{\cdot} é contínua no intervalo de valores de p, então x\mapsto\sqrt{p(x)} é contínua onde p(x)\ge0.
Aplicando isso aqui:
  • p(x)=(2+x)(3-x) é contínua.
  • Para x\in[-2,3] temos p(x)\ge0, então \sqrt{p(x)} é bem definida e contínua em todo [-2,3].
  • Multiplicar por \dfrac{1}{40} (ou dividir por 40) é uma operação contínua (constante não nula), então a função
g(x)=\dfrac{1}{40}\sqrt{(2+x)(3-x)}
é contínua exatamente nos mesmos pontos em que \sqrt{(2+x)(3-x)} está definida, ou seja, em [-2,3].
Observações importantes para a prova:
  • Nos extremos x=-2 e x=3 o radicando vale zero, então \sqrt{0}=0. Não há problema: a função tende ao valor e o valor existe, logo continuidade nesses pontos também.
  • Fora de [-2,3] a expressão \sqrt{(2+x)(3-x)} não está definida (números complexos), então uma definição real de f por essa fórmula não existe ali — logo não faz sentido falar em continuidade real nesses pontos.

Passo 4

Resumo do método (receita prática que você pode aplicar na prova a olho):
  1. Identifique a expressão de f. Se envolver raiz, imponha o radicando \ge0 para encontrar o domínio.
  2. Determine o domínio real da função.
  3. Verifique se a função é composição de funções contínuas (polinômios, raízes em domínios válidos, sen, cos, exponenciais etc. têm continuação conhecida).
  4. Conclua que a função é contínua em todo o domínio onde está definida (na maioria dos casos simples de faculdade isso é automático: polinômio é contínuo em \mathbb{R}, raiz é contínua em [0,\infty), soma/produto/composição preservam continuidade).
  5. Cheque os extremos do domínio (pontos em que o radicando zera) para confirmar continuidade à esquerda/direita — geralmente estão incluídos.

Passo 5

Voltando ao enunciado original: conclusão prática
  • Se a intenção do exercício era definir f por
f(x)=\dfrac{1}{40}\sqrt{(2+x)(3-x)},
então f é contínua para todo x\in[-2,3] e apenas nesses pontos (porque fora desse intervalo a fórmula não define f real).
  • Se a intenção era outra (por exemplo, a expressão mostrada faz parte de uma equação ou de uma definição por partes, ou Há um sinal de igualdade que foi omitido), não há como determinar os pontos de continuidade sem a definição completa de f. Neste caso o enunciado está incompleto.

Resposta

Não é possível determinar de forma única: o enunciado está incompleto porque f não foi definido.
Se a intenção for \;f(x)=\dfrac{1}{40}\sqrt{(2+x)(3-x)}\;, então f é contínua exatamente para x\in[-2,3].

Exercícios relacionados