45 \lim _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{\sqrt{(x-3)^{2}}}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede calcular
45 \lim_{x \rightarrow 3^{+}} \frac{\sqrt{(x-3)^{2}}}{x-3}.
Informações dadas:
  • Há um fator externo 45 multiplicando o limite.
  • O limite é unilateral pela direita, isto é x \to 3^{+} (valores de x maiores que 3, mas que se aproximam de 3).
  • A expressão dentro do limite é \dfrac{\sqrt{(x-3)^{2}}}{x-3}.

Passo 2

Um fato importante (identidade) que vamos usar é
\sqrt{t^{2}}=|t|
para qualquer número real t. Isto porque a raiz quadrada principal sempre retorna um valor não negativo, logo \sqrt{t^{2}} é a magnitude de t, isto é o valor absoluto de t.

Passo 3

Aplicando essa identidade com t=x-3 obtemos
\sqrt{(x-3)^{2}}=|x-3|.
Agora a expressão dentro do limite fica
\frac{\sqrt{(x-3)^{2}}}{x-3}=\frac{|x-3|}{x-3}.

Passo 4

Vamos lembrar a definição do valor absoluto: para qualquer número real u\), \[|u| = \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
No nosso caso u=x-3\]. Como o limite é unicamente pela direita (\(x\to3^{+}), estamos considerando valores de x tais que x>3 (mesmo que muito próximos de 3). Para esses x vale x-3>0, então
|x-3|=x-3.]

Passo 5

Substituindo isso na fração:
\frac{|x-3|}{x-3}=\frac{x-3}{x-3}=1
para todo x>3 (com x\neq 3). Assim, ao nos aproximarmos de 3 pela direita, a expressão vale constantemente 1. Portanto
\lim_{x\to 3^{+}} \frac{\sqrt{(x-3)^{2}}}{x-3}=1.

Passo 6

Multiplicando pelo fator externo 45 temos o valor pedido:
45\cdot 1 = 45.
(Dica rápida para intuição: escolha x=3{,}1. Então \sqrt{(3{,}1-3)^2}=0{,}1 e (3{,}1-3)=0{,}1, a razão dá 1.)

Resposta

45

Exercícios relacionados