Ache todos os números reais que satisfazem a desigualdade. Expresse a solução com a notação de intervalos e represente-as na reta dos reais.
13 x-7 <= 43-2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade racional
13x-7 <= 43-2x
Isso envolve encontrar o domínio (pontos onde os denominadores são zero), colocar tudo num único quociente e depois fazer análise de sinais para ver onde ele é não-positivo.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio, ou seja, onde os denominadores não se anulam:
3x-7neq0implies xneq tfrac73, 3-2xneq0implies xneq tfrac32
Agora passamos tudo para o mesmo lado da desigualdade:
13x-7-43-2x<=0

Passo 3

Unificamos num único quociente com o denominador comum (3x-7)(3-2x). O numerador fica
N = 1cdot(3-2x);-;4cdot(3x-7) = 3-2x -12x +28 = 31 -14x,
e o denominador é
D = (3x-7)(3-2x)
Portanto a desigualdade é
ND = 31-14x(3x-7)(3-2x) <= 0

Passo 4

Encontramos os zeros de numerador e denominador:
N=0implies 31-14x=0implies x=3114approx2,2143,
D=0implies x=73ou x=32
Esses três valores particionam a reta em quatro intervalos.

Passo 5

Analisamos o sinal de N e de D em cada intervalo:
  • Para x<tfrac32: 31-14x>0 e (3x-7)<0,,(3-2x)>0, então D<0. Logo ND<0.
  • Para tfrac32<x<tfrac3114: N>0 e D>0, logo ND>0.
  • Para tfrac3114<x<tfrac73: N<0 e D>0, logo ND<0.
  • Para x>tfrac73: N<0 e D<0, logo ND>0.
Queremos ND<=0, isto é, negativo ou zero. Isso ocorre em
(-infty,tfrac32)e ltfrac3114rcup(tfrac3114,tfrac73),
mas excluímos tfrac32 e tfrac73. Como em x=tfrac3114 o quociente vale zero, incluímos esse ponto.

Passo 6

Em notação de intervalo a solução é
(-infty,tfrac32);cup;[tfrac3114,tfrac73)
Na reta real, marcamos um círculo aberto em x=tfrac32 e em x=tfrac73, e um círculo fechado em x=tfrac3114. A região válida vai de -infty até x=tfrac32 (não incluindo) e depois de x=tfrac3114 (incluindo) até x=tfrac73 (não incluindo).

Resposta

(-infty,tfrac32);cup;[tfrac3114,tfrac73)

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