Nos Exercs. 1 a 12, determine o argumento dos números complexos dados, represente-os na forma polar e geometricamente.
5. z=1-1-i raiz3.

Passo 1

O enunciado pede para o número complexo
z = 1-1 - iraiz3
calcular o argumento arg(z), escrever z em forma polar e descrever sua representação geométrica. Vamos precisar racionalizar o denominador, calcular módulo e argumento e, em seguida, montar a forma polar.

Passo 2

Racionalizando o denominador, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de -1 - iraiz3:
z = 1-1 - iraiz3cdot-1 + iraiz3-1 + iraiz3 = -1 + iraiz3(-1)^2 - (iraiz3)^2 = -1 + iraiz31 - (-3) = -1 + iraiz34 = -14 + i,raiz34

Passo 3

Para achar o módulo r e o argumento theta:
r = |z| = raizl(-tfrac14r)^2 + l(tfracraiz34r)^2 = raiztfrac116 + tfrac316 = tfrac12
O quociente entre parte imaginária e real é
raiz34-14 = -raiz3,
portanto arctan(-raiz3)=-tfracpi3. Como Re(z)<0 e Im(z)>0, z está no segundo quadrante, logo
theta = pi - pi3 = 2pi3

Passo 4

A forma polar de z é
z = rl(costheta + isinthetar) = 12l(cos2pi3 + isin2pi3r)

Passo 5

Geometricamente, z corresponde ao ponto
l(Re(z),Im(z)r) =l(-tfrac14,;tfracraiz34r)
no plano complexo, ou seja, o vetor de módulo tfrac12 que faz um ângulo de 120^circ (ou tfrac2pi3) em relação ao eixo real positivo.

Resposta

arg(z)=tfrac2pi3
Forma polar:
z = tfrac12l(costfrac2pi3 + isintfrac2pi3r)
Geometricamente, é o ponto l(-tfrac14,tfracraiz34r) a uma distância 1/2 da origem, no ângulo 120^circ.

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