Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=0^infty n!2 times 5 times 8 times ldots times(3 n+2)

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=0^infty n!2 times 5 times 8 times cdots times (3n+2)
O conteúdo principal aqui é o critério da razão de D’Alembert para séries numéricas: se
L = limntoinfty l|an+1/anr|
existe e satisfaz L<1, então a série sum an converge absolutamente.

Passo 2

Definimos o termo geral da série como
an = n!prodk=0^n(3k+2)
Aqui usamos a notação de produto para deixar claro que o denominador é
2 times 5 times 8 times cdots times (3n+2) = prodk=0^n(3k+2)

Passo 3

Aplicamos o critério da razão, calculando
an+1an = (n+1)!prodk=0^n+1(3k+2) cdot prodk=0^n(3k+2)n! = n+13(n+1)+2 = n+13n+5

Passo 4

Agora encontramos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty n+13n+5 = 13
Como esse valor é menor que 1, o critério da razão garante que a série converge absolutamente.

Passo 5

Concluímos, portanto, que a série dada converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo critério da razão).

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