1. Seja
A=\left(\begin{array}{rrr} 3 & 2 & 4 \\\\ 1 & -2 & 3 \\\\ 2 & 3 & 2 \end{array}\right)
(a) Encontre os valores de \operatorname{det}\left(M_{21}\right), \operatorname{det}\left(M_{22}\right) e \operatorname{det}\left(M_{23}\right).
(b) Encontre os valores de A_{21}, A_{22} e A_{23}.
(c) Use suas respostas da parte (b) para calcular \operatorname{det}(A).

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\\\ 1 & -2 & 3 \\\\ 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}
e pede três coisas:
(a) calcular \det\big(M_{21}\big),\\ \det\big(M_{22}\big) e \det\big(M_{23}\big), onde M_{2j} é o menor obtido eliminando a segunda linha e a j-ésima coluna de A;
(b) encontrar os cofatores A_{21}, A_{22}, A_{23} (ou seja, A_{2j}=(-1)^{2+j}\det(M_{2j}));
(c) usar os cofatores da linha 2 para calcular \det(A) pela expansão de Laplace ao longo da segunda linha.
As entradas relevantes da segunda linha são a_{21}=1,\\ a_{22}=-2,\\ a_{23}=3.

Passo 2

Definição rápida que vamos usar: para uma matriz 3\times3, o menor M_{ij} é a submatriz 2\times2 obtida eliminando a linha i e a coluna j. O determinante de uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}
é \det=\;ad-bc.
Agora calculo \det\big(M_{21}\big): eliminar a linha 2 e a coluna 1 de A deixa a submatriz formada pelas linhas 1,3 e colunas 2,3:
M_{21}=\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix}.
Aplicando \det=\;ad-bc:
\det\big(M_{21}\big)=2\cdot2-4\cdot3=4-12=-8.]

Passo 3

Calculo \det\big(M_{22}\big): eliminar a linha 2 e a coluna 2 deixa a submatriz com colunas 1,3 das linhas 1,3:
M_{22}=\begin{pmatrix}3 & 4 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}.
Determinante:
\det\big(M_{22}\big)=3\cdot2-4\cdot2=6-8=-2.]

Passo 4

Calculo \det\big(M_{23}\big): eliminar a linha 2 e a coluna 3 deixa a submatriz com colunas 1,2 das linhas 1,3:
M_{23}=\begin{pmatrix}3 & 2 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.
Determinante:
\det\big(M_{23}\big)=3\cdot3-2\cdot2=9-4=5.]

Passo 5

Agora os cofatores: por definição A_{2j}=(-1)^{2+j}\det\big(M_{2j}\big).
  • Para j=1: (-1)^{2+1}=(-1)^3=-1, então
A_{21}= -\det\big(M_{21}\big)= -(-8)=8.
  • Para j=2: (-1)^{2+2}=(-1)^4=+1, então
A_{22}= \det\big(M_{22}\big)= -2.
  • Para j=3: (-1)^{2+3}=(-1)^5=-1, então
A_{23}= -\det\big(M_{23}\big)= -5.

Passo 6

Cálculo de \det(A) por expansão de Laplace (cofator) ao longo da segunda linha:
\det(A)=a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+a_{23}A_{23}.
Substituindo a_{21}=1,\\ a_{22}=-2,\\ a_{23}=3 e os cofatores encontrados:
\det(A)=1\cdot8+(-2)\cdot(-2)+3\cdot(-5)=8+4-15=-3.

Passo 7

Verificação rápida (opcional): usando a regra de Sarrus para confirmar, obtém-se também -3, então o resultado está consistente.

Resposta

(a) \det\big(M_{21}\big)=-8,\\ \det\big(M_{22}\big)=-2,\\ \det\big(M_{23}\big)=5
(b) A_{21}=8,\\ A_{22}=-2,\\ A_{23}=-5
(c) \det(A)=-3

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