Ache todos os valores das seguintes raízes:
8^1 / 6

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as raízes sextas de 8, ou seja, todos os complexos z tais que
z^6 = 8
O conteúdo é o cálculo de raízes de um número complexo via forma polar e o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Escrevemos 8 em forma polar. Como 8 é real e positivo, seu módulo é r=8 e seu argumento principal é
theta = 0,
mas, de modo geral, podemos adicionar 2pi m para minZ. Assim,
8 = 8,e^i(,0+2pi m,)

Passo 3

Pela fórmula das raízes n-ésimas, se
z = r,e^itheta,
suas n raízes são
zk = r^1/n , e^itheta+2pi kn, k=0,1,dots,n-1
Aqui n=6, r=8, theta=0.

Passo 4

Calculamos o módulo da raiz:
r^1/6 = 8^1/6 = (2^3)^1/6 = 2^3/6 = 2^1/2 = raiz2
O argumento de cada raiz é
0+2pi k6 = pi k3, k=0,1,2,3,4,5

Passo 5

Portanto, as seis raízes são
zk = raiz2,e^,ipi k3, k=0,1,2,3,4,5,
ou seja, pontos igualmente espaçados de ângulo pi/3 e módulo raiz2.

Resposta

boxedzk = raiz2,e^,ipi k3, k=0,1,2,3,4,5

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