Uma partícula livre (em todo o espaço) está no estado
psi(x, t)=A exp [-(x-x0)^24 a^2] exp (i p0hbar x) exp (-i omega0 t)
com a, p0, x0, omega0 constantes reais. (Este é o chamado pacote guassiano.)
(a) Encontre a constante de normalização A.
(b) Qual a energia desta partícula.
(c) Qual o valor esperado (ou valor médio) da posição desta partícula.
Dica: Para fazer as contas é conveniente introduzir a variável
eta=x-x0a

Passo 1

O enunciado dá a função de onda de uma partícula livre em todo o espaço,
psi(x, t)=A exp!l[-(x - x0)^24a^2r];exp!l(ip0hbarxr);exp!l(-iomega0tr),
com A,,a,,p0,,x0,,omega0 constantes reais. Pede-se
(a) a normalização de psi,
(b) a energia da partícula,
(c) o valor esperado da posição.
Para (a) e (c) vamos usar a mudança de variável sugerida
eta = x - x0a,,
e lembrar que
integral-infty^infty e^-eta^2/2,deta = raiz2pi,, integral-infty^infty eta,e^-eta^2/2,deta = 0,

Passo 2

Para normalizar, exigimos
integral-infty^infty|psi(x,t)|^2,dx ;=; |A|^2 integral-infty^inftyexp!l[-(x - x0)^22a^2r]dx = 1
Fazendo x = x0+aeta, dx = a,deta, obtém-se
|A|^2;a;integral-infty^inftye^-eta^2/2,deta ;=;|A|^2;a;raiz2pi ;=;1 Longrightarrow |A|^2 = 1araiz2pi
Podemos escolher A real e positivo, logo
A = 1(2pi a^2)^1/4

Passo 3

A dependência temporal de psi é exp(-iomega0t). Num sistema livre, isso significa que psi evolui como autofunção do hamiltoniano com autovalor de energia
E = hbar,omega0

Passo 4

O valor esperado da posição é
lang<= xrang<= = integral-infty^infty x,|psi(x,t)|^2,dx = |A|^2integral-infty^inftyx exp!l[-tfrac(x - x0)^22a^2r]dx
Fazendo de novo x = x0+aeta, fica
lang<= xrang<= = |A|^2integral-infty^infty(x0+aeta),e^-eta^2/2,a,deta = x0underbrace|A|^2araiz2pi=1 + a,|A|^2aunderbraceintegraleta,e^-eta^2/2deta=0 = x0

Resposta

(a) A = (2pi a^2)^-1/4
(b) E = hbar,omega0
(c) lang<= xrang<= = x0

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