Um circuito composto de um resistor R e um capacitor C em série está ligado a uma fonte corrente alternada I=I0 cos omega t=Re(I^*) com I0 constante e I^*=I0 e^i omega t. Lembrando a lei de Ohms ( V=R I ) e que a voltagem num capacitor é proporcional a carga entre as placas
VC=1C integralo^t I(t) d t
use a lei de Kirchoff para obter uma expressão para a impedância complexa Z.
E^*=Z I^*,
onde E=Re(E^*) é a tensão (FEM) de entrada. O que acontece no regime de altas e baixas freqüências omega ?

Passo 1

O circuito série consiste de um resistor R e um capacitor C ligados a uma fonte de corrente alternada
;I=I0cosomega t=Re(I^*), com ;I^*=I0e^iomega t. Queremos achar a impedância complexa Z tal que
;E^*=Z,I^*. Para isso, usaremos a lei de Kirchhoff no domínio dos fasores e as relações de tensão para R e C.

Passo 2

Pela lei de Kirchhoff, a soma das tensões em série é igual à tensão da fonte:
E^*=VR^*+VC^*
Para o resistor vale a lei de Ohm no domínio fasorial:
VR^*=R,I^*
Para o capacitor, a relação no tempo
VC(t)=1Cintegral0^tI(t'),dt'
transforma-se em domínio fasorial em
VC^*=1iomega C,I^*

Passo 3

Substituindo VR^* e VC^* em Kirchhoff e fatorando I^*, obtemos:
E^*=I^*l(R+1iomega Cr)
Portanto, a impedância complexa é
Z=R+1iomega C
Opcionalmente, escrevemos
Z=R-iomega C

Passo 4

Analisando os regimes de frequência:
Para omegato0, tfrac1omega Ctoinfty, logo lvert Zrverttoinfty e arg Zto-tfracpi2. Nesse caso o capacitor bloqueia a corrente (circuito aberto).
Para omegatoinfty, tfrac1omega Cto0, logo Zto R e arg Zto0. Nesse caso o capacitor atua como curto e o circuito se comporta puramente como um resistor.

Resposta

Z = R + 1iomega C
Para omegato0, Ztoinfty (capacitância bloqueia a corrente); para omegatoinfty, Zto R (capacitor curto, circuito puramente resistivo).

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