1. Ache o trabalho que realiza a força
F(x, y)=(y sen x y-y^2-3) i+(x sen x y-2 x y) j
para transladar uma partícula de (4,0) a (0,0) ao longo da curva
C: y=2-|2-x|, com 0 <= x <= 4.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W=integralCvec Fcdot dvec r
onde
vec F(x,y)=l(ysin(xy)-y^2-3r), i+l(xsin(xy)-2xyr), j
e C vai de (4,0) a (0,0) segundo y=2-|2-x|.
Como C está em um domínio de R^2 simplesmente conexo e vec F tem derivadas contínuas, vamos verificar se vec F é campo conservativo e, em caso positivo, usar potencial para calcular o trabalho de forma independente do caminho.

Passo 2

Verificamos se vec F é conservativo conferindo
M(x,y)=ysin(xy)-y^2-3, N(x,y)=xsin(xy)-2xy
e checando
partial Mpartial y =sin(xy)+xycos(xy)-2y, partial Npartial x =sin(xy)+xycos(xy)-2y
Como partial M/partial y=partial N/partial x, vec F é conservativo.

Passo 3

Buscamos uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x=M, partial phipartial y=N
Integramos M em relação a x:
phi(x,y) =integrall(ysin(xy)-y^2-3r),dx =-cos(xy)-xy^2-3x+h(y)
Agora impomos phiy=N:
partialpartial yl(-cos(xy)-xy^2-3x+h(y)r) =xsin(xy)-2xy+h'(y) stackrel!=xsin(xy)-2xy,
logo h'(y)=0 e podemos tomar h(y)=0. Portanto
phi(x,y)=-cos(xy)-xy^2-3x

Passo 4

O trabalho é dado por
W=phil(0,0r)-phil(4,0r)
Calculando:
phi(0,0)=-cos(0)-0-0=-1, phi(4,0)=-cos(0)-0-12=-1-12=-13
Logo
W=-1-(-13)=12

Resposta

12

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