Exercício 9. As equações abaixo dão a posição de uma partícula em um dado tempo t num intervalo especificado. Em cada item, encontre as velocidades inicial e final e a distância percorrida.
x(t)=e^t sen t, y(t)=e^t cos t, 0 <= t <= pi.

Passo 1

O enunciado apresenta a posição de uma partícula em função do tempo no plano, dada por
x(t)=e^tsin t, y(t)=e^tcos t, 0<= t<= pi,
e pede (i) as velocidades inicial e final, e (ii) a distância percorrida.
Conteúdo: curva paramétrica, velocidade (derivada da posição) e comprimento de arco (integral da velocidade escalar).

Passo 2

Para achar a velocidade v(t)=(x'(t),y'(t)), derivamos cada componente usando a regra do produto:
x'(t)=ddtl(e^tsin tr) =e^tsin t+e^tcos t =e^t(sin t+cos t),
y'(t)=ddtl(e^tcos tr) =e^tcos t-e^tsin t =e^t(cos t-sin t)

Passo 3

Agora avaliamos em t=0 e t=pi:
Em t=0: sin0=0, cos0=1, então
v(0)=l(e^0(0+1),,e^0(1-0)r)=(1,1)
Em t=pi: sinpi=0, cospi=-1, logo
v(pi) =l(e^pi(0-1),,e^pi(-1-0)r) =(-e^pi,,-e^pi)

Passo 4

A distância percorrida é o comprimento de arco
L=integral0^pi| v(t)|,dt =integral0^piraiz[x'(t)]^2+[y'(t)]^2,dt
Calculamos o integrando:
[x'(t)]^2+[y'(t)]^2 =e^2tl[(sin t+cos t)^2+(cos t-sin t)^2r] =e^2tl[1+sin2t+1-sin2tr] =2e^2t
Logo | v(t)|=raiz2e^2t=e^traiz2. Assim
L=raiz2integral0^pie^t,dt =raiz2l[e^tr]0^pi =raiz2,(e^pi-1)

Resposta

Velocidade inicial: v(0)=(1,1)
Velocidade final: v(pi)=l(-e^pi,-e^pir)
Distância percorrida: raiz2,(e^pi-1)

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