Exercício 10. A curva parametrizada pelas funções
é chamada de estrofoide.
(a) Encontre as equações das retas tangentes na origem.
(b) Encontre os pontos em que a tangente é horizontal.
(c) Esboce a curva.
(a) Encontre as equações das retas tangentes na origem.
(b) Encontre os pontos em que a tangente é horizontal.
(c) Esboce a curva.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede: (a) as retas tangentes na origem, (b) os pontos com tangente horizontal e (c) um esboço da curva.
Conteúdo: derivadas de funções paramétricas para obter , solução de equações para achar pontos especiais e análise de simetria e assíntotas para o esboço.
Conteúdo: derivadas de funções paramétricas para obter
Passo 2
Calculemos
Logo a inclinação da tangente é
Passo 3
(a) Para ter tangente na origem precisamos de
e
.
e nesses valores
. As inclinações são
Logo as retas em
são
Passo 4
(b) Tangente horizontal ocorre quando
e
.
então
Os pontos são
Passo 5
(c) Análise para o esboço:
- A curva é par em
e ímpar em : simétrica em relação ao eixo . - Interceptos:
em (tangente vertical ali, pois ) e em (com tangentes ). - Tangentes horizontais em
. - Para
, e , aparecendo a assíntota vertical .
O esboço é um laço que parte deaté com vertical em , retorna a com tangentes , e depois dois ramos que se estendem indefinidamente aproximando-se de , um no e outro no .
Resposta
(a) As duas retas em
são
(b) Os pontos de tangente horizontal ocorrem em
isto é
(c) A curva tem simetria no eixo
, passa por
com tangente vertical, faz um laço entre
e
, sai para dois ramos que se aproximam da assíntota vertical
.