Exercício 10. A curva parametrizada pelas funções
x(t)=1-t^21+t^2, y(t)=t(1-t^2)1+t^2, t in(-infty, infty)
é chamada de estrofoide.
(a) Encontre as equações das retas tangentes na origem.
(b) Encontre os pontos em que a tangente é horizontal.
(c) Esboce a curva.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x(t)=1-t^21+t^2, y(t)=t(1-t^2)1+t^2, tin(-infty,infty),
e pede: (a) as retas tangentes na origem, (b) os pontos com tangente horizontal e (c) um esboço da curva.
Conteúdo: derivadas de funções paramétricas para obter dydx, solução de equações para achar pontos especiais e análise de simetria e assíntotas para o esboço.

Passo 2

Calculemos
dxdt =ddt!l(1-t^21+t^2r) =(-2t)(1+t^2)-(1-t^2)(2t)(1+t^2)^2 =-4t(1+t^2)^2,
dydt =ddt!l(t-t^31+t^2r) =(1-3t^2)(1+t^2)-(t-t^3)(2t)(1+t^2)^2 =1-4t^2-t^4(1+t^2)^2
Logo a inclinação da tangente é
dydx =dydtdxdt =1-4t^2-t^4-4t =t^4+4t^2-14t

Passo 3

(a) Para ter tangente na origem precisamos de x(t)=0 e y(t)=0.
x(t)=0implies1-t^2=0implies t=pm1,
e nesses valores y(pm1)=0. As inclinações são
m(1)=1^4+4cdot1^2-14cdot1=44=1, m(-1)=1+4-14(-1)=-1
Logo as retas em (0,0) são
y=x e y=-x

Passo 4

(b) Tangente horizontal ocorre quando dydt=0 e dxdtneq0.
1-4t^2-t^4=0 iff t^4+4t^2-1=0 iff t^2=raiz5-2,
então
t=pmraizraiz5-2
Os pontos são
x=1-t^21+t^2 =1-(raiz5-2)1+(raiz5-2) =raiz5-12, y=t,x =pmraizraiz5-2,raiz5-12

Passo 5

(c) Análise para o esboço:
  • A curva é par em x e ímpar em y: simétrica em relação ao eixo x.
  • Interceptos: (1,0) em t=0 (tangente vertical ali, pois dxdt(0)=0) e (0,0) em t=pm1 (com tangentes pm1).
  • Tangentes horizontais em l(tfracraiz5-12,pmtfracraiz5-12raizraiz5-2r).
  • Para ttopminfty, xto-1 e |y|toinfty, aparecendo a assíntota vertical x=-1.
    O esboço é um laço que parte de (0,0) até (1,0) com vertical em (1,0), retorna a (0,0) com tangentes pm1, e depois dois ramos que se estendem indefinidamente aproximando-se de x=-1, um no y>0 e outro no y<0.

Resposta

(a) As duas retas em (0,0) são
y=x e y=-x
(b) Os pontos de tangente horizontal ocorrem em
t=pmraizraiz5-2,
isto é
l(tfracraiz5-12,;pmtfracraiz5-12raizraiz5-2r)
(c) A curva tem simetria no eixo x, passa por (1,0) com tangente vertical, faz um laço entre (1,0) e (0,0), sai para dois ramos que se aproximam da assíntota vertical x=-1.

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