Ache a transformação inversa das seguintes transformações inversíveis:
(b) T: & R^2 (x, y) & & mapsto(x-2 y, y-x)

Passo 1

A questão pede a função inversa de uma transformação linear invertível
Tcolon R^2toR^2, T(x,y)=(x-2y,;y-x)
Para encontrar T^-1, vamos chamar as coordenadas de saída de (u,v) e resolver o sistema linear
u = x - 2y, v = y - x

Passo 2

Escrevendo explicitamente o sistema, temos
u = x - 2y,
v = y - x
Isso é um sistema de duas equações lineares em x e y.

Passo 3

Da segunda equação v = y - x isolamos y:
y = v + x
Substituindo em u = x - 2y, dá
u = x - 2(v + x) = x - 2v - 2x = -x - 2v
Logo
x = -,u ;-;2v
E então
y = v + x = v +(-u -2v) = -u ;-;v

Passo 4

Portanto, a inversa T^-1 leva (u,v) em
l(x,yr) =l(-u-2v,,-u-vr)
Em outras palavras, se chamarmos a entrada da inversa de (x,y), temos
T^-1(x,y)=(-x-2y,,-x-y)

Resposta

T^-1colon R^2toR^2, T^-1(x,y)=(-x-2y,,-x-y)

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