Seja T: V U uma transformação linear. Determine se as afirmações abaixo são Verdadeiras ou Falsas justificando sua resposta.
(f) Se dim(V)>dim(U) então T não é injetora.

Passo 1

O enunciado considera uma transformação linear Tcolon Vto U e afirma que, se dim(V)>dim(U), então T não é injetora. Vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem (teorema da dimensão) para analisar essa condição.

Passo 2

Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem temos
dim(V)=diml(ker Tr)+diml(ImTr)

Passo 3

Como ImTsubseteq U, vale
diml(ImTr)<=dim(U)
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diml(ker Tr) =dim(V)-diml(ImTr) >=dim(V)-dim(U)>0

Passo 4

Tendo dim(ker T)>0, segue que ker Tneq0. Isso significa que existe vetor não zero mapeado para zero, ou seja, T não é injetora.

Resposta

Verdadeira.

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