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Sejam A e B duas bases do R^2 e seja
[I d]A, B=(rr 1 & 0 2 & -1 )
a matriz de mudança de base de A para B. Ache a base A sabendo que B=(2,1),(-1,1).

Passo 1

O enunciado nos dá duas bases A e B de R^2 e informa que a matriz de mudança de base do operador identidade de A para B é
[Id]A,B = 1 & 0 2 & -1
Além disso, sabemos que B=,b1=(2,1),,b2=(-1,1). O objetivo é achar os vetores de A. Para isso usamos a propriedade de que cada coluna de [Id]A,B são as coordenadas, em B, de um vetor de A.

Passo 2

Sabemos que, para todo vetor vinR^2, vale
[v]B = [Id]A,B,[v]A
Em particular, se A=v1,v2, então a primeira coluna de [Id]A,B é [v1]B e a segunda coluna é [v2]B.

Passo 3

Lendo a matriz
[Id]A,B = 1 & 0 2 & -1 ,
vemos que
[v1]B = 12, [v2]B = 0-1

Passo 4

Como [v1]B=(1,2), isso significa
v1 = 1cdot b1 + 2cdot b2 = 1,(2,1) + 2,(-1,1) = (2 - 2,;1 + 2) = (0,3)

Passo 5

Como [v2]B=(0,-1), isso significa
v2 = 0cdot b1 + (-1)cdot b2 = -1,(-1,1) = (1,-1)

Resposta

A base A é
A = (0,3),,(1,-1)

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