Ache transformada inversa de Laplace pela convolução:
L^{-1}\left\{\frac{s^{2}}{\left(s^{2}+1\right)^{2}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
F(s)=\frac{s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}}
usando o teorema da convolução. Vamos usar que
  1. \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{s}{s^{2}+1}\bigr\}(t)=\cos(t).
  2. A convolução no domínio do tempo diz
\mathcal{L}^{-1}\{F_{1}(s)\,F_{2}(s)\}(t) =\int_{0}^{t}f_{1}(\tau)\,f_{2}(t-\tau)\,d\tau.

Passo 2

Escrevemos
\frac{s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}} =\frac{s}{s^{2}+1}\;\cdot\;\frac{s}{s^{2}+1}.
Como \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^{2}+1}\}(t)=\cos(t), temos duas funções no tempo iguais a \cos(t).

Passo 3

Pelo teorema da convolução,
f(t) =\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t) =\int_{0}^{t}\cos(\tau)\,\cos\bigl(t-\tau\bigr)\,d\tau.

Passo 4

Para calcular a integral use a identidade trigonométrica
\cos(\tau)\cos(t-\tau) =\tfrac12\bigl[\cos(t)+\cos(2\tau - t)\bigr].
Então
\int_{0}^{t}\cos(\tau)\cos(t-\tau)\,d\tau =\tfrac12\int_{0}^{t}\cos(t)\,d\tau +\tfrac12\int_{0}^{t}\cos(2\tau - t)\,d\tau.
A primeira parte dá
\int_{0}^{t}\cos(t)\,d\tau =t\cos(t),
e para a segunda faça u=2\tau - t:
\int_{0}^{t}\cos(2\tau - t)\,d\tau =\tfrac12\int_{-\,t}^{t}\cos(u)\,du =\tfrac12\bigl[\sin(u)\bigr]_{-t}^{t} =\sin(t).
Somando,
\int_{0}^{t}\cos(\tau)\cos(t-\tau)\,d\tau =\tfrac12\bigl(t\cos(t)+\sin(t)\bigr).

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\!\biggl\{\frac{s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}}\biggr\}(t) =\frac{1}{2}\bigl(t\cos(t)+\sin(t)\bigr).

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