Ache a transformada de inversa de Laplace das seguintes funções:
F(s)=s^2-4 s+12s(s^2+4)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=s^2-4s+12s,(s^2+4).
Esse problema envolve transformadas de Laplace e vamos usar decomposição em frações parciais para depois aplicar pares básicos de inversa.

Passo 2

Supomos a forma
s^2-4s+12s,(s^2+4) =As+B,s+Cs^2+4
Multiplicando por s,(s^2+4) e reunindo termos:
s^2-4s+12 =A,(s^2+4)+(B,s+C),s =(A+B),s^2+C,s+4A

Passo 3

Igualando coeficientes em
(A+B),s^2+C,s+4A ;=;s^2-4s+12
obtemos o sistema
A+B=1, C=-4, 4A=12
Logo A=3, B=-2 e C=-4.

Passo 4

Substituindo de volta na decomposição,
F(s) =3s-2ss^2+4-4s^2+4

Passo 5

Aplicamos a inversa termo a termo usando os pares
L^-1ltfrac1sr=1, L^-1ltfracss^2+4r=cos(2t), L^-1ltfrac1s^2+4r=tfrac12sin(2t)
Portanto
f(t)=3-2cos(2t)-2sin(2t)

Resposta

f(t)=3 - 2cos(2t) - 2sin(2t)

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