Ache a transformada de inversa de Laplace das seguintes funções:
F(s)=1(s^2+4)^3.

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=1(s^2+4)^3
O conteúdo é encontrar f(t)=L^-1F(s) usando o método de ansatz: supondo que f(t) seja combinação de termos da forma t^2sin(2t), tcos(2t) e sin(2t), pois sabemos que essas funções geram potências de (s^2+4) no denominador.

Passo 2

Suponha
f(t)=A,t^2sin(2t)+B,tcos(2t)+C,sin(2t),
onde A,B,C são constantes a determinar. Vamos calcular Lf(t) usando as fórmulas
Lt^2sin(2t) =2cdot2,(3s^2-4)(s^2+4)^3, Ltcos(2t) =s^2-4(s^2+4)^2, Lsin(2t) =2s^2+4

Passo 3

Então
Colocando tudo sobre [(s2+4)3) e igualando ao numerador , obtemos o sistema em :
(\displaystyle

]

Passo 4

Resolvendo esse sistema achamos
A = -18cdot2^3, B = -38cdot2^4, C = 38cdot2^5
Substituindo em f(t) e lembrando que 2^5=32 e 8cdot32=256, vem
f(t) =(3-4t^2),sin(2t)-6t,cos(2t)256

Resposta

boxed,L^-1l1(s^2+4)^3r(t) =(3-4t^2),sin(2t)-6t,cos(2t)256,

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