Ache a transformada de inversa de Laplace das seguintes funções:
F(s)=2(s-1) e^-2 ss^2-2 s+1

Passo 1

O enunciado pede a transformada de inversa de Laplace de
F(s)=2(s-1),e^-2ss^2-2s+1
O conteúdo envolvido é a aplicação da primeira e segunda propriedade de deslocamento (teorema do valor inicial – não usado aqui) e, em particular, da propriedade de deslocamento no domínio de tempo:
L^-1e^-a sG(s)(t)=g(t-a),u(t-a),
onde G(s)=Lg(t)(s) e u(t) é a função de Heaviside.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a parte algébrica de F(s). Note que
s^2-2s+1=(s-1)^2,
portanto
F(s) =2(s-1),e^-2s(s-1)^2 =2,e^-2s,1s-1

Passo 3

Definimos
G(s)=2s-1
Como sabemos que
Le^t(s)=1s-1,
segue que
L2,e^t(s) =2s-1,
isto é, g(t)=2,e^t.

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade de deslocamento no tempo:
L^-1e^-2sG(s)(t) = g(t-2),u(t-2)
Como g(t)=2,e^t, temos
f(t)=2,e^,t-2,u(t-2)

Resposta

f(t)=2,e^,t-2,u(t-2)

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