Ache a transformada de inversa de Laplace das seguintes funções:
F(s)=3 s(s+1)^4,

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s) = 3,s(s+1)^4
O conteúdo envolvido é a transformada de Laplace de funções do tipo t^n e^-a t, para as quais vale a fórmula
Lt^n e^-a t(s) = n!(s + a)^n+1
Vamos usar essa fórmula e manipular F(s) para encaixar nesse padrão.

Passo 2

Escrevemos o numerador s em função de (s+1). Note que
s = (s+1) - 1
Logo,
F(s) = 3,s(s+1)^4 = 3,(s+1)-1(s+1)^4 = 3gl(s+1(s+1)^4 - 1(s+1)^4gr)

Passo 3

Simplificamos cada fração:
s+1(s+1)^4 = 1(s+1)^3, 1(s+1)^4 = 1(s+1)^4
Portanto,
F(s) = 3gl(1(s+1)^3 - 1(s+1)^4gr)

Passo 4

Usamos a tabela de transformadas:
Lt^2 e^-t(s) = 2!(s+1)^3 = 2(s+1)^3, Lt^3 e^-t(s) = 3!(s+1)^4 = 6(s+1)^4
Queremos inverter cada termo de F(s).

Passo 5

Primeiro termo:
3cdot 1(s+1)^3 = 32,2(s+1)^3 long<=ftrightarrow 32,t^2 e^-t
Segundo termo:
3cdot 1(s+1)^4 = 36,6(s+1)^4 = 12,6(s+1)^4 long<=ftrightarrow 12,t^3 e^-t

Passo 6

Subtraindo as duas partes, a inversa de Laplace é
f(t) = 32,t^2 e^-t ;-;12,t^3 e^-t = l(tfrac32t^2 - tfrac12t^3r)e^-t

Resposta

f(t) = l(tfrac32t^2 - tfrac12t^3r)e^-t

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