Ache a transformada de inversa de Laplace das seguintes funções:
F(s)=ln (s^2+1s(s+3))

Passo 1

Estamos buscando f(t) tal que a transformada de Laplace Lf(t)=F(s)=lnl((s^2+1)/(s(s+3))r). O conteúdo aqui é inversa de Laplace de funções logarítmicas, e vamos precisar das propriedades de logaritmo para decompor a expressão, além do teorema de diferenciação no domínio (s$ para relacionar derivada de para relacionar derivada de com multiplicação por com mu em em .

Passo 2

Vamos usar as propriedades de logaritmo: primeiro
F(s)=ln(s^2+1)-ln s-ln(s+3),
e ainda
ln(s^2+1)=ln(s+i)+ln(s-i)

Passo 3

Para inverter cada termo do tipo ln(s+a), lembramos que
ddsln(s+a)=1s+a,
e como
L^-11/(s+a)=e^-at,
e mais, a propriedade de diferenciação no domínio s diz que
ddsG(s)long<=ftrightarrow -t,g(t),
então se G(s)=ln(s+a) e g(t)=L^-1G(s), temos
-t,g(t)=e^-atLongrightarrow g(t)=-e^-att

Passo 4

Aplicando isso aos quatro termos:
  • Para ln(s+i): g1(t)=-tfrace^-itt.
  • Para ln(s-i): g2(t)=-tfrace^itt.
  • Para ln s (a=0): L^-1ln s=-tfrac1t; como em F(s) ele aparece com sinal menos, dá + 1/t.
  • Para ln(s+3): L^-1ln(s+3)=-tfrace^-3tt; como em F(s) vem com menos, dá + e^-3t/t.

Passo 5

Somando todas as contribuições:
f(t)=-e^-itt-e^itt+1t+e^-3tt,
e usando e^it+e^-it=2cos t obtemos
f(t)=1+e^-3t-2cos tt

Resposta

f(t)=dfrac1+e^-3t-2cos tt, t>0

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