Calcule a integral de linha ao longo do caminho indicado.
y=x^2 a fronteira da região fechada, determinada pelos arcos das parábolas x=y^2 e x in[0,1], para , percorrida no sentido positivo.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
ointC x,y,dx + (y^2 - x^2),dy
sobre a curva fechada C que é a fronteira da região entre as parábolas y = x^2 e x = y^2 para xin[0,1], no sentido positivo. Vamos usar o Teorema de Green para transformar a linha em uma integral dupla.

Passo 2

Pelo Teorema de Green temos
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA,
onde
P(x,y)=x,y e Q(x,y)=y^2 - x^2. Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = -2x, partial Ppartial y = x,
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partial Qpartial x - partial Ppartial y = -2x - x = -3x

Passo 3

A região D está dada por
0 <= x <= 1, x^2 <= y <= raizx
Então a integral dupla é
integral duplaD (-3x),dA = -3 integralx=0^1 integraly=x^2^raizx x,dy,dx

Passo 4

Integramos primeiro em y:
integraly=x^2^raizx x,dy = xl(raizx - x^2r) = x^3/2 - x^3
Agora em x:
integral0^1 l(x^3/2 - x^3r)dx = l[25x^5/2 - 14x^4r]0^1 = 25 - 14 = 320

Passo 5

Multiplicando pelo fator -3:
-3 times 320 = -920

Resposta

-920

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