Usando o método das frações parciais mostre que
L^-1(s(s-a)(s-b))=b e^b t-a e^a t(b-a)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de s(s-a)(s-b) usando frações parciais. O conteúdo envolve: propriedades da transformada de Laplace, decomposição em frações parciais e o par L^-11/(s-c)=e^ct. Vamos precisar conhecer como dividir uma função racional em termos simples de 1/(s-a) e 1/(s-b).

Passo 2

Começamos fazendo a decomposição em frações parciais: suponha que
s(s-a)(s-b)=As-a+Bs-b
Multiplicando ambos os lados por (s-a)(s-b) obtemos
s = A(s-b)+B(s-a)
Esse é um polinômio em s, então podemos comparar coeficientes ou escolher valores convenientes de s para achar A e B.

Passo 3

Escolhendo primeiro s=a:
a = A(a-b)+Bcdot0 implies A = aa-b = -ab-a
Escolhendo agora s=b:
b = Acdot0 + B(b-a) implies B = bb-a
Logo, a decomposição fica:
s(s-a)(s-b) = -ab-acdot1s-a + bb-acdot1s-b

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa de Laplace termo a termo, lembrando que L^-11/(s-c)=e^ct:
L^-1l-tfracab-acdottfrac1s-ar = -ab-ae^a t,
L^-1ltfracbb-acdottfrac1s-br = bb-ae^b t
Somando os dois resultados obtemos a resposta final.

Resposta

b e^b t-a e^a tb-a

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