Ache a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=c0, t<12 1+t, t >= 12.

Passo 1

Enunciado: Calcular a transformada de Laplace de f(t)=0 se t<1/2, e f(t)=1+t se t≥1/2; conteúdo: transformada de Laplace e função degrau; vamos usar a propriedade de deslocamento de Heaviside.

Passo 2

Representar f(t) usando u(t−1/2): f(t)=(1+t)u(t−1/2).

Passo 3

Fazer mudança de variável τ=t−1/2 e reescrever 1+t=3/2+τ; logo f(t)=[3/2+τ]u(t−1/2).

Passo 4

Aplicar propriedade: L{g(t−a)u(t−a)}=e^{−as}G(s), onde g(τ)=3/2+τ. Precisamos encontrar G(s)=L{3/2+τ}.

Passo 5

Calcular G(s): G(s)=3/2·(1/s)+1/s2=3/(2s)+1/s2.

Passo 6

Concluir: F(s)=e{−s/2}(3/(2s)+1/s2). Simplificando, F(s)=[(3s+2)/(2s2)]e{−s/2}.

Resposta

F(s)=3s+22s^2e^-tfracs2

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