Seja G o sólido no primeiro octante limitado abaixo pela superfície z=y+x^2 e acima pelo plano z=4. Preencha as lacunas com os extremos de integraçîo que faltam.
integralegral triplasigma f(x, y, z) d A=integralsquare^square integralsquare^square integraly+x^2^4 f(x, y, z) d z d x d y

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sólido $ G $ que está no primeiro octante, ou seja, onde $ x $, $ y $ e $ z $ são positivos. Esse sólido é limitado abaixo pela superfície $ z = y + x^{2} $ e acima pelo plano $ z = 4 $. O objetivo aqui é preencher as lacunas nos limites de integração da tripla integral fornecida:
G
Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar os limites de integração em uma tripla integral no espaço tridimensional, especialmente considerando as superfícies que limitam o sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam o sólido:
  1. Superfície Inferior: $ z = y + x^{2} $
  2. Superfície Superior: $ z = 4 $
Essas superfícies nos dizem como o sólido $ G $ está “empilhado” no eixo $ z $. No primeiro octante, tanto $ x $ quanto $ y $ são positivos, então vamos considerar apenas essa região.

Passo 3

Para achar os limites de integração para $ x $ e $ y $, precisamos encontrar a região no plano $ xy $ onde o sólido está localizado. Isso significa encontrar os valores de $ x $ e $ y $ que satisfazem $ z = y + x^{2} $ e estão abaixo de $ z = 4 $.
Vamos igualar as duas equações para encontrar a interseção:
x
Isso nos dá a equação da curva onde as duas superfícies se encontram:
y

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites para $ x $ e $ y $:
  1. Para $ x $: Como estamos no primeiro octante e $ y $ deve ser positiva, temos $ 4 - x^{2} \geq 0 $. Resolvendo isso:
x
Então, $ x $ varia de $ 0 $ a $ 2 $.
  1. Para $ y $: Para cada valor de $ x $ entre $ 0 $ e $ 2 $, $ y $ varia de $ 0 $ até $ 4 - x^{2} $.

Passo 5

Com os limites de $ x $ e $ y $ definidos, podemos agora preencher as lacunas na tripla integral. Lembrando que $ z $ já está definido de $ y + x^{2} $ a $ 4 $, a ordem de integração dada é $ dz , dx , dy $.
Então, os limites de integração ficam:
x

Resposta

Preenchendo as lacunas, a tripla integral fica:
integral triplasigma f(x, y, z) , dA = integral0^4 integral0^raiz4 - y integraly + x^2^4 f(x, y, z) , dz , dx , dy

Exercícios relacionados