Seja
o sólido no primeiro octante limitado abaixo pela superfície
acima pelo plano
. Preencha as lacunas com os extremos de integraçîo que faltam.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sólido $ G $ que está no primeiro octante, ou seja, onde $ x $, $ y $ e $ z $ são positivos. Esse sólido é limitado abaixo pela superfície $ z = y + x^{2} $ e acima pelo plano $ z = 4 $. O objetivo aqui é preencher as lacunas nos limites de integração da tripla integral fornecida:
Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar os limites de integração em uma tripla integral no espaço tridimensional, especialmente considerando as superfícies que limitam o sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam o sólido:
- Superfície Inferior: $ z = y + x^{2} $
- Superfície Superior: $ z = 4 $
Essas superfícies nos dizem como o sólido $ G $ está “empilhado” no eixo $ z $. No primeiro octante, tanto $ x $ quanto $ y $ são positivos, então vamos considerar apenas essa região.
Passo 3
Para achar os limites de integração para $ x $ e $ y $, precisamos encontrar a região no plano $ xy $ onde o sólido está localizado. Isso significa encontrar os valores de $ x $ e $ y $ que satisfazem $ z = y + x^{2} $ e estão abaixo de $ z = 4 $.
Vamos igualar as duas equações para encontrar a interseção:
Isso nos dá a equação da curva onde as duas superfícies se encontram:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites para $ x $ e $ y $:
- Para $ x $: Como estamos no primeiro octante e $ y $ deve ser positiva, temos $ 4 - x^{2} \geq 0 $. Resolvendo isso:
Então, $ x $ varia de $ 0 $ a $ 2 $.
- Para $ y $: Para cada valor de $ x $ entre $ 0 $ e $ 2 $, $ y $ varia de $ 0 $ até $ 4 - x^{2} $.
Passo 5
Com os limites de $ x $ e $ y $ definidos, podemos agora preencher as lacunas na tripla integral. Lembrando que $ z $ já está definido de $ y + x^{2} $ a $ 4 $, a ordem de integração dada é $ dz , dx , dy $.
Então, os limites de integração ficam:
Resposta
Preenchendo as lacunas, a tripla integral fica: