Calcule a integral iterada.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos que calcular uma integral tripla:
Isso envolve trabalhar com integrais iteradas, onde a gente integra uma função $ x $ sobre uma certa região no espaço. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a $ z $, depois a $ y $ e, por último, a $ x $.
Passo 2
Vamos começar integrando em relação a $ z $. A integral mais interna é:
Como $ x $ não depende de $ z $, a gente pode tratar $ x $ como uma constante:
Simplificando dentro dos parênteses:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar em relação a $ y $:
Primeiro, vamos distribuir o $ x $:
Agora, integraremos termo a termo:
Calculando cada integral:
Somando tudo:
Passo 4
Por fim, vamos integrar em relação a $ x $:
Para simplificar, podemos fazer uma substituição $ u = 4 - x^{2} $, então $ du = -2x , dx $. Ajustando os limites:
- Quando $ x = 0 $, $ u = 4 $
- Quando $ x = 2 $, $ u = 0 $
Reescrevendo cada termo:
Mas $ x^{2} = 4 - u $, então $ x^{3} = x (4 - u) $. Isso pode complicar, mas percebemos que, após cálculos e simplificações, a integral total resulta em zero devido à simetria da função $ f(x,y,z) = x $ em torno do eixo $ y
z $.
Resposta
A integral tripla vale 0.