Suponha que T graus seja a temperatura em qualquer ponto da esfera
e
. Ache os pontos da esfera onde a temperatura é máxima e também os pontos onde ela é menor. Ache a temperatura nesses pontos.
Passo 1
O enunciado pede pra gente maximizar e minimizar a temperatura definida por
sobre a esfera
Passo 2
Vamos definir a função que queremos otimizar sem o fator constante:
Assim,
Pelas condições de Lagrange, precisamos de
equazendo
Passo 3
Primeiro, assumimos
para poder simplificar. Da primeira equação tiramos
Da segunda,
e igualando com
temos
De modo similar, da terceira equação,
Passo 4
Portanto descobrimos que
e ainda
Então
Passo 5
Os pontos críticos são as combinações
Aí avaliamos
e
Logo quando
Passo 6
Concluímos que os máximos locais de
valem
e ocorrem nos pontos em que
, isto é,
$$(\pm\sqrt2,1,1)\quade\quad(\pm\sqrt2,-1,-1).
$$
Resposta
Pontos de máximo: (±√2,1,1) e (±√2,−1,−1), com temperatura T=100.\nPontos de mínimo: (±√2,1,−1) e (±√2,−1,1), com temperatura T=−100.