Suponha que T graus seja a temperatura em qualquer ponto da esfera x^2+y^2+z^2=4 e T=50 x^2 y z. Ache os pontos da esfera onde a temperatura é máxima e também os pontos onde ela é menor. Ache a temperatura nesses pontos.

Passo 1

O enunciado pede pra gente maximizar e minimizar a temperatura definida por
T(x,y,z)=50x^2yz
sobre a esfera x^2+y^2+z^2=4. O conteúdo é otimização com restrição (método de Lagrange), e vamos precisar usar o fato de que em extremos sujeitos a um contorno g(x,y,z)=0 temos nabla f=lambdanabla g.

Passo 2

Vamos definir a função que queremos otimizar sem o fator constante:
f(x,y,z)=x^2yz
Assim, T=50f. A restrição é
g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-4=0
Pelas condições de Lagrange, precisamos de
nabla f=(2xyz,,x^2z,,x^2y), nabla g=(2x,,2y,,2z),
equazendo
2xyz=2lambda x, x^2z=2lambda y, x^2y=2lambda z

Passo 3

Primeiro, assumimos x,y,zneq0 para poder simplificar. Da primeira equação tiramos
yz=lambda
Da segunda,
lambda=x^2z2y,
e igualando com yz temos
yz=x^2z2yimplies2y^2z=x^2zimplies x^2=2y^2
De modo similar, da terceira equação,
lambda=x^2y2zimplies yz=x^2y2zimplies2yz^2=x^2yimplies x^2=2z^2

Passo 4

Portanto descobrimos que
x^2=2y^2=2z^2
e ainda y^2=z^2. Substituindo na restrição:
x^2+y^2+z^2= x^2+x^22+x^22=2x^2=4implies x^2=2implies x=pmraiz2
Então
y^2=z^2=1implies y=pm1, z=pm1

Passo 5

Os pontos críticos são as combinações
(x,y,z)=(pmraiz2,pm1,pm1)
Aí avaliamos
f(x,y,z)=x^2yz=2,y z
e
T=50f=100,y z
Logo quando y z=1 temos T=100 e quando y z=-1 temos T=-100.

Passo 6

Concluímos que os máximos locais de T valem 100 e ocorrem nos pontos em que y z=1, isto é,
$$(\pm\sqrt2,1,1)\quade\quad(\pm\sqrt2,-1,-1).
(pmraiz2,1,1)e(pmraiz2,-1,-1) íé(\pm\sqrt2,1,-1)\quade\quad(\pm\sqrt2,-1,1).
$$

Resposta

Pontos de máximo: (±√2,1,1) e (±√2,−1,−1), com temperatura T=100.\nPontos de mínimo: (±√2,1,−1) e (±√2,−1,1), com temperatura T=−100.

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