(a) Ache os três primeiros termos não-nulos da série de Maclaurin para tg x. (b) Use o resultado de (a) e a derivação termo a termo para encontrar os três primeiros termos não-nulos da série de Maclaurin para sec ^2 x. (c) Use o resultado de (a) e a integração termo a termo, de modo a encontrar os três primeiros termos não-nulos da série de Maclaurin para ln |sec x|.

Passo 1

O enunciado pede séries de Maclaurin (isto é, em torno de x=0) para as funções tan x, sec^2 x e ln|sec x|. Vamos precisar da expansão de
sin x e cos x
sin x = x - tfracx^36 + tfracx^5120 + cdots, cos x = 1 - tfracx^22 + tfracx^424 + cdots,
fazer divisão de séries para obter tan x, depois derivar termo a termo para sec^2 x e integrar termo a termo para ln|sec x|.

Passo 2

Suponha
tan x = a1 x + a3 x^3 + a5 x^5 + cdots
Multiplicando pela série de cos x, exigimos
(a1 x + a3 x^3 + a5 x^5)l(1 - tfracx^22 + tfracx^424r) = x - tfracx^36 + tfracx^5120 + cdots
Expandindo e agrupando potências de x e igualando coeficientes, obtemos
a1 = 1, -a1/2 + a3 = -tfrac16 Rightarrow a3 = tfrac13, a1/24 - a3/2 + a5 = tfrac1120 Rightarrow a5 = tfrac215

Passo 3

Logo, os três primeiros termos não-nulos da série de Maclaurin de tan x são
tan x = x + tfracx^33 + tfrac2x^515 + cdots

Passo 4

Como sec^2 x = ddx(tan x), derivamos termo a termo:
ddxl(x + tfracx^33 + tfrac2x^515r) = 1 + x^2 + tfrac23x^4 + cdots
Assim, os três primeiros termos não-nulos de sec^2 x são
sec^2 x = 1 + x^2 + tfrac2x^43 + cdots

Passo 5

Como ln|sec x| = integral tan x,dx e ln|sec0|=0, integramos termo a termo:
integrall(x + tfracx^33 + tfrac2x^515r)dx = tfracx^22 + tfracx^412 + tfracx^645 + C,
e C=0. Logo, os três primeiros termos não-nulos são
ln|sec x| = tfracx^22 + tfracx^412 + tfracx^645 + cdots

Resposta

(a) tan x = x + tfracx^33 + tfrac2x^515 + cdots
(b) sec^2 x = 1 + x^2 + tfrac2x^43 + cdots
(c) ln|sec x| = tfracx^22 + tfracx^412 + tfracx^645 + cdots

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