(a) Ache os três primeiros termos não-nulos da série de Maclaurin para tg
. (b) Use o resultado de (a) e a derivação termo a termo para encontrar os três primeiros termos não-nulos da série de Maclaurin para
. (c) Use o resultado de (a) e a integração termo a termo, de modo a encontrar os três primeiros termos não-nulos da série de Maclaurin para
.
Passo 1
O enunciado pede séries de Maclaurin (isto é, em torno de
) para as funções
,
e
. Vamos precisar da expansão de
e
fazer divisão de séries para obter
, depois derivar termo a termo para
e integrar termo a termo para
.
Passo 2
Suponha
Multiplicando pela série de
, exigimos
Expandindo e agrupando potências de
e igualando coeficientes, obtemos
Passo 3
Logo, os três primeiros termos não-nulos da série de Maclaurin de
são
Passo 4
Como
, derivamos termo a termo:
Assim, os três primeiros termos não-nulos de
são
Passo 5
Como
e
, integramos termo a termo:
e
. Logo, os três primeiros termos não-nulos são
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)