Derive a função.
f(x)=(1-x^-1)^-1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=l(1 - x^-1r)^-1
e pede a sua derivada. Vamos usar a regra da cadeia, combinando a derivada de potência com a derivada de x^-1.

Passo 2

Definimos
u(x)=1 - x^-1 e g(u)=u^-1,
de modo que f(x)=gl(u(x)r). Calculamos primeiro
u'(x)=ddxl(1 - x^-1r)=0 - (-1)x^-2=x^-2

Passo 3

A derivada de g em relação a u é
g'(u)=-u^-2
Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'l(u(x)r),u'(x) =-l(1 - x^-1r)^-2cdot x^-2

Passo 4

Para simplificar, note que
1 - x^-1=x-1x Longrightarrow l(1 - x^-1r)^-2 =(x-1x)^-2 =(xx-1)^2
Assim,
-l(1 - x^-1r)^-2,x^-2 =-x^2(x-1)^2cdot1x^2 =-1(x-1)^2

Resposta

f'(x)=-1(x-1)^2

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