2^ a Questão ( ) (Valor 6.0 Pontos): Ache uma equação da reta tangente e da reta normal à curva y=x^44-x^22, no ponto x=2.
Solução: A inclinação da reta tangente é dada por mT=y^prime. Assim,
mT(2)=(x^44-x^22)^prime|x=2=(x^3-x)|x=2 Rightarrow mT=6
Sendo x=2, segue que y=2^44-2^22=4-2=2 e, por isso, uma equação da reta tangente fica dada por
rt: 6=y-2x-2
Como a inclinação da reta normal é igual a mN=-1mT, segue que uma equação da reta normal fica dada por
rn:-16=y-2x-2

Passo 1

O enunciado nos pede para achar as equações da reta tangente e da reta normal à curva
y = x^44 - x^22
no ponto em que x=2. O conteúdo usado será derivação para encontrar a inclinação da tangente e depois a forma ponto-inclinação para escrever as retas.

Passo 2

Calcular a derivada y'. Como
y = x^44 - x^22,
usamos a regra de potência em cada termo:
y' = ddxl(tfracx^44r) - ddxl(tfracx^22r) = x^3 - x

Passo 3

Avaliar a derivada em x=2 para obter o coeficiente angular da tangente:
mT = y'(2) = (2)^3 - 2 = 8 - 2 = 6

Passo 4

Determinar as coordenadas do ponto de tangência. Substituindo x=2 na curva:
y(2) = 2^44 - 2^22 = 164 - 42 = 4 - 2 = 2
Logo, o ponto é (2,2).

Passo 5

Escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação
y - y0 = mT,(x - x0)
Aqui mT=6 e (x0,y0)=(2,2), então:
y - 2 = 6,(x - 2)

Passo 6

A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da tangente:
mN = -1mT = -16
Aplicando novamente a forma ponto-inclinação em (2,2):
y - 2 = -16,(x - 2)

Resposta

Equação da reta tangente:
y - 2 = 6,(x - 2)
Equação da reta normal:
y - 2 = -tfrac16,(x - 2)

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