(a) Ache os três primeiros termos não-nulos da série de Taylor para cotg x em 12 pi. (b) Use o resultado de (a) e a integração termo a termo, a fim de encontrar os três primeiros termos não-nulos da série de Taylor para ln sen x em 12 pi.

Passo 1

O enunciado pede (a) os três primeiros termos não-nulos da série de Taylor de cotg x em x0=tfracpi2 e (b), a partir disso, por integração termo a termo, os três primeiros termos não-nulos da série de Taylor de lnsen x em x0=tfracpi2. Vamos usar mudança de variável u = x - tfracpi2, expansão conhecida de tan u e o fato de que ddxlnsen x=cotg x.

Passo 2

Expressamos cotg x em função de u. Como
cos x = cosl(tfracpi2+ur)=-sin u, sen x = senl(tfracpi2+ur)=cos u,
segue
cotg x = cos xsen x = -sin ucos u = -tan u

Passo 3

Usamos a expansão de Taylor de tan u em torno de u=0:
tan u = u + tfrac13u^3 + tfrac215u^5 + cdots
Logo,
cotg x = -tan u = -u ;-;tfrac13u^3 ;-;tfrac215u^5 + cdots
Esses são os três primeiros termos não-nulos de cotg x em x=tfracpi2.

Passo 4

Para lnsen x, observe que
ddxlnsen x = cotg x
Logo
lnsen x = integral cotg x,dx = integral l(-u - tfrac13u^3 - tfrac215u^5 + cdotsr),du

Passo 5

Integramos termo a termo e obtemos
lnsen x = -u^22 ;-;u^412 ;-;215,u^66 + C = -u^22 - u^412 - u^645 + C
Para determinar C, use x=tfracpi2Rightarrow u=0 e lnsen(tfracpi2)=ln1=0. Então C=0.

Resposta

(a) Em x0=tfracpi2, com u=x-tfracpi2,
cotg x = -u ;-;tfrac13u^3 ;-;tfrac215u^5 + cdots
(b) Ainda em x0=tfracpi2,
lnsen x = -u^22 - u^412 - u^645 + cdots

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