(a) Ache os três primeiros termos não-nulos da série de Taylor para
em
. (b) Use o resultado de (a) e a integração termo a termo, a fim de encontrar os três primeiros termos não-nulos da série de Taylor para
em
.
Passo 1
O enunciado pede (a) os três primeiros termos não-nulos da série de Taylor de
em
e (b), a partir disso, por integração termo a termo, os três primeiros termos não-nulos da série de Taylor de
em
. Vamos usar mudança de variável
, expansão conhecida de
e o fato de que
.
Passo 2
Expressamos
em função de
. Como
segue
Passo 3
Usamos a expansão de Taylor de
em torno de
:
Logo,
Esses são os três primeiros termos não-nulos de
em
.
Passo 4
Para
, observe que
Logo
Passo 5
Integramos termo a termo e obtemos
Para determinar
, use
e
. Então
.
Resposta
(a) Em
, com
,
(b) Ainda em
,