Seja R a região dada por
lx^2497^2+y^21110^2 <= 1 y <= 1144497 cdot x
O centro de massa de R tem a forma
(xM, yM)=(A4782 pi,-B4782 pi)
para dois inteiros positivos A e B. Quais?
A=
square
B=
square

Passo 1

O enunciado define a região
R=l(x,y)mid x^2497^2+y^21110^2<=1,;y<=1144497xr
É um setor de elipse cortado por uma reta que passa pela origem. Para encontrar o centro de massa de uma lamina de densidade constante usaremos a transformação que envia essa elipse no disco unitário, depois aplicamos o fato de que uma reta diametral corta o disco em duas semicircunferências de mesma área, cujo centróide relativo ao centro do disco é a uma distância
4R3pi
ao longo da normal à reta, com R=1.

Passo 2

Fazemos a mudança de variáveis
u=x497, v=y1110
No plano (u,v) a região vira
u^2+v^2<=1, v<= k,u,
onde
k=1144/4971110/497=11441110=572555
Essa é exatamente uma semicircunferência de raio 1, pois a reta v=k,u passa pela origem.

Passo 3

O centróide de uma semicircunferência de raio R=1 fica a uma distância
d=43pi
do centro, ao longo da normal à reta que define o diâmetro. A normal (apontando para a parte v<= k,u) é
l(k,-1r). Normalizando, o centróide no plano (u,v) é
(uM,vM) =43pi,(k,-1)raizk^2+1

Passo 4

Calculamos
k^2+1 =l(tfrac572555r)^2+1 =572^2+555^2555^2 =635209308025 =l(tfrac797555r)^2,
logo raizk^2+1=797/555. Assim
uM =43pi,572797, vM =-43pi,555797

Passo 5

Voltando a (x,y) via x=497,u, y=1110,v, temos
xM =497,uM =497cdot43pi,572797 =1,137,1362391,pi =2,274,2724782,pi,
yM =1110,vM =1110cdotl(-43pir),555797 =-2,464,2002391,pi =-4,928,4004782,pi

Resposta

A=2274272
B=4928400

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