Seja
a região dada por
O centro de massa de
tem a forma
para dois inteiros positivos
e
. Quais?
O centro de massa de
para dois inteiros positivos
Passo 1
O enunciado define a região
É um setor de elipse cortado por uma reta que passa pela origem. Para encontrar o centro de massa de uma lamina de densidade constante usaremos a transformação que envia essa elipse no disco unitário, depois aplicamos o fato de que uma reta diametral corta o disco em duas semicircunferências de mesma área, cujo centróide relativo ao centro do disco é a uma distância
ao longo da normal à reta, com
.
Passo 2
Fazemos a mudança de variáveis
No plano
a região vira
onde
Essa é exatamente uma semicircunferência de raio
, pois a reta
passa pela origem.
Passo 3
O centróide de uma semicircunferência de raio
fica a uma distância
do centro, ao longo da normal à reta que define o diâmetro. A normal (apontando para a parte
) é
. Normalizando, o centróide no plano
é
Passo 4
Calculamos
logo
. Assim
Passo 5
Voltando a
via
,
, temos