3^a Questão ( ) (Valor 6.0 Pontos): Sejam x=x(t) e y=y(t) funções de t. Sabendo que 2 x+3 yy-x=10 e que d xd t=2, encontre d yd t.
Solução: Como 2 x+3 yy-x=10, então,
2 x+3 y=10(y-x) Rightarrow 2 x+3 y=10 y-10 x Rightarrow 7 y=12 x Rightarrow y=127 x
Assim, derivando em relação a t dos dois lados temos que
d yd t=127 cdot d xd t=127 cdot 2=247

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções x=x(t) e y=y(t) ligadas pela equação
2x+3y,y - x, = 10
e informa que dxdt=2. Queremos encontrar dydt. Para isso, vamos primeiro usar álgebra para isolar y em função de x e só então derivar em relação a t.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por y - x e depois reorganizando os termos, temos
2x+3y = 10(y - x)
2x+3y = 10y - 10x
3y - 10y = -10x - 2x
-7y = -12x
7y = 12x
y = 127,x

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados de y = tfrac127x em relação a t. Como tfrac127 é constante, vale
dydt = 127,dxdt

Passo 4

Basta substituir dxdt=2:
dydt = 127cdot 2 = 247

Resposta

dydt = 247

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