Ache utma formula para calcular a soma:
sumn=0^+infty(2 n+1) x^2 n, para |x|<1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar uma fórmula que calcule a soma da série infinita $ \sum_{n=0}^{+\infty} (2n+1) x^{2n} $, onde $ |x| < 1 $. Isso tá relacionado com séries geométricas e séries que envolvem termos com $ n $. Vamos precisar lembrar de como somar séries geométricas e séries que têm termos lineares em $ n $.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a resolução. Podemos reescrever $ (2n + 1) x^{2n} $ como $ 2n x^{2n} + x^{2n} $. Assim, a soma original fica:
(2n + 1) x^2n

Passo 3

Agora, vamos resolver cada uma dessas somas separadamente. Começando pela soma mais simples:
sumn=0^+infty x^2n
Essa é uma série geométrica onde cada termo é $ x^{2n} $. Sabemos que a soma de uma série geométrica $ \sum_{n=0}^{+\infty} r^n $ é $ \frac{1}{1 - r} $, desde que $ |r| < 1 $. Aqui, $ r = x^2 $, então:
x^2n

Passo 4

Agora, vamos resolver a soma que envolve $ n $:
n
Para isso, usamos uma técnica de derivação. Sabemos que:
sumn=0^+infty n x^2n
Derivando ambos os lados em relação a $ r $:
sumn=0^+infty r^n = 11 - r
Multiplicando ambos os lados por $ r $:
r
Aqui, $ r = x^2 $, então:
sumn=0^+infty n r^n-1 = 1(1 - r)^2

Passo 5

Voltando à nossa expressão original, substituímos as somas que calculamos:
sumn=0^+infty (2n+1) x^2n = 2 cdot x^2(1 - x^2)^2 + 11 - x^2

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Colocando os termos sobre um denominador comum:
2 cdot x^2(1 - x^2)^2 + 11 - x^2 = 2x^2 + (1 - x^2)(1 - x^2)^2 = 1 + x^2(1 - x^2)^2

Resposta

A soma da série é dada por:
sumn=0^+infty (2n+1) x^2n = 1 + x^2(1 - x^2)^2, para |x| < 1

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