Ache utma formula para calcular a soma:
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.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar uma fórmula que calcule a soma da série infinita $ \sum_{n=0}^{+\infty} (2n+1) x^{2n} $, onde $ |x| < 1 $. Isso tá relacionado com séries geométricas e séries que envolvem termos com $ n $. Vamos precisar lembrar de como somar séries geométricas e séries que têm termos lineares em $ n $.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a resolução. Podemos reescrever $ (2n + 1) x^{2n} $ como $ 2n x^{2n} + x^{2n} $. Assim, a soma original fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver cada uma dessas somas separadamente. Começando pela soma mais simples:
Essa é uma série geométrica onde cada termo é $ x^{2n} $. Sabemos que a soma de uma série geométrica $ \sum_{n=0}^{+\infty} r^n $ é $ \frac{1}{1 - r} $, desde que $ |r| < 1 $. Aqui, $ r = x^2 $, então:
Passo 4
Agora, vamos resolver a soma que envolve $ n $:
Para isso, usamos uma técnica de derivação. Sabemos que:
Derivando ambos os lados em relação a $ r $:
Multiplicando ambos os lados por $ r $:
Aqui, $ r = x^2 $, então:
Passo 5
Voltando à nossa expressão original, substituímos as somas que calculamos:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão. Colocando os termos sobre um denominador comum:
Resposta
A soma da série é dada por: