Determine os vetores tangente e normal unitários
e
e utilize a fórmula
para encontrar a curvatura.
Passo 1
O enunciado pede os vetores tangente unitário
e normal unitário
e a curvatura
para a curva
O conteúdo envolvido é derivada de vetor, norma, normalização e curvatura, usando as fórmulas
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada do vetor de posição para obter a velocidade:
Isso vem de derivar componente a componente.
Passo 3
Em seguida, encontramos a norma de
para poder normalizá-la:
pois
para todo
.
Passo 4
Usando a fórmula de
, normalizamos
:
Assim temos o vetor tangente unitário.
Passo 5
Para achar
, precisamos de
. Derivando cada componente de
, obtemos
Aplicamos a regra do quociente componente a componente.
Passo 6
Agora calculamos a norma de
para usar em
e em
. Fazendo as contas:
Aqui somamos os quadrados das componentes e simplificamos.
Passo 7
Agora obtemos o vetor normal unitário
pela definição
:
Isso conclui o cálculo de
.
Passo 8
Por fim, a curvatura
é dada por
E assim encontramos
.
Resposta
T(t)=\frac{\langle t2,2t,2\rangle}{t2+2},\quad N(t)=\frac{\langle 2t,2 - t2,-2t\rangle}{t2+2},\quad k(t)=\frac{2}{(t2+2)2}