Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t) e utilize a fórmula k(t)=|T^prime(t)||r^prime(t)| para encontrar a curvatura.
r(t)=lang<=13 t^3, t^2, 2 trang<=

Passo 1

O enunciado pede os vetores tangente unitário T(t) e normal unitário N(t) e a curvatura k(t) para a curva
r(t)=lang<= tfrac13t^3,,t^2,,2trang<=
O conteúdo envolvido é derivada de vetor, norma, normalização e curvatura, usando as fórmulas
T(t)=r'(t)lVert r'(t)rVert, k(t)=lVert T'(t)rVertlVert r'(t)rVert

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada do vetor de posição para obter a velocidade:
r'(t)=lang<= t^2,,2t,,2rang<=
Isso vem de derivar componente a componente.

Passo 3

Em seguida, encontramos a norma de r'(t) para poder normalizá-la:
lVert r'(t)rVert = raiz(t^2)^2+(2t)^2+2^2 = raizt^4+4t^2+4 = t^2+2,
pois t^2+2>0 para todo t.

Passo 4

Usando a fórmula de T(t), normalizamos r'(t):
T(t)=r'(t)lVert r'(t)rVert =lang<= t^2,,2t,,2rang<=t^2+2
Assim temos o vetor tangente unitário.

Passo 5

Para achar N(t), precisamos de T'(t). Derivando cada componente de T(t)=lang<= t^2/(t^2+2),,2t/(t^2+2),,2/(t^2+2)rang<=, obtemos
T'(t)=lang<= 4t,;4-2t^2,;-4trang<=(t^2+2)^2
Aplicamos a regra do quociente componente a componente.

Passo 6

Agora calculamos a norma de T'(t) para usar em N(t) e em k(t). Fazendo as contas:
lVert T'(t)rVert = raiz(4t)^2+(4-2t^2)^2+(-4t)^2(t^2+2)^2 = 2,(t^2+2)(t^2+2)^2 = 2t^2+2
Aqui somamos os quadrados das componentes e simplificamos.

Passo 7

Agora obtemos o vetor normal unitário N(t) pela definição N(t)=T'(t)/lVert T'(t)rVert:
N(t) =lang<= 4t,;4-2t^2,;-4trang<=/(t^2+2)^22/(t^2+2) =lang<= 2t,;2-t^2,;-2trang<=t^2+2
Isso conclui o cálculo de N(t).

Passo 8

Por fim, a curvatura k(t) é dada por
k(t)=lVert T'(t)rVertlVert r'(t)rVert = 2t^2+2t^2+2 = 2(t^2+2)^2
E assim encontramos k(t).

Resposta

T(t)=\frac{\langle t2,2t,2\rangle}{t2+2},\quad N(t)=\frac{\langle 2t,2 - t2,-2t\rangle}{t2+2},\quad k(t)=\frac{2}{(t2+2)2}

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