Em cada um dos casos abaixo encontre as equações do plano tangente e da reta normal no ponto dado.
O gráfico da função no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas parciais e as fórmulas das equações de plano e reta no espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma variável muda, mantendo a outra constante.
Calculando (derivada parcial em relação a ):
Calculando (derivada parcial em relação a ):
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :
Passo 3
Com as derivadas parciais encontradas, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em é:
Substituindo os valores de , e :
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente é .
Passo 4
Agora, vamos encontrar a reta normal ao plano no ponto . A reta normal tem a direção do vetor normal ao plano, que é dado pelas derivadas parciais e -1. Ou seja, o vetor normal é:
Com o vetor diretor e passando por , as equações paramétricas da reta normal são:
Onde é o parâmetro.
Resposta
As equações do plano tangente e da reta normal no ponto são: