Em cada um dos casos abaixo encontre as equações do plano tangente e da reta normal no ponto P0 dado.
O gráfico da função f(x, y)=x^2+x y-x+y+1 no ponto P0=(0,0, f(0,0))=(0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas parciais e as fórmulas das equações de plano e reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de fx = partial fpartial x = 2x + y - 1 em relação a fy = partial fpartial y = x + 1 e fx(0, 0) = 2(0) + 0 - 1 = -1 . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma variável muda, mantendo a outra constante.
Calculando fy(0, 0) = 0 + 1 = 1 (derivada parcial em relação a ):
Calculando (derivada parcial em relação a ):
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :

Passo 3

Com as derivadas parciais encontradas, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em z = z0 + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0) é:
z = 1 + (-1)(x - 0) + 1(y - 0)
Substituindo os valores de z = 1 - x + y , e :
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a reta normal ao plano no ponto n = (fx, fy, -1) = (-1, 1, -1) . A reta normal tem a direção do vetor normal ao plano, que é dado pelas derivadas parciais e -1. Ou seja, o vetor normal é:
x = 0 - t = -t
Com o vetor diretor y = 0 + t = t e passando por z = 1 - t , as equações paramétricas da reta normal são:
Onde é o parâmetro.

Resposta

As equações do plano tangente e da reta normal no ponto Plano Tan>=nte: z = -x + y + 1 são:
Reta Normal: x = -t y = t z = 1 - t
Onde é um parâmetro real.

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