Encontre os extremantes locais das funções abaixo e classifique-os em pontos de máximo, de mínimo ou de sela
f(x, y)=x^3-2 x y-x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremantes locais da função e dizer se eles são pontos de máximo, mínimo ou de sela. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso acontece quando as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero. Ou seja, precisamos calcular e e igualar cada uma a zero.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a partial fpartial x = 3x^2 - 2y - 1 :
partial fpartial y = -2x
E em relação a 3x^2 - 2y - 1 = 0 e -2x = 0 :
Agora, igualamos cada derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 4

Da segunda equação, 3(0)^2 - 2y - 1 = 0 Rightarrow -2y - 1 = 0 Rightarrow y = -12 , temos que . Vamos substituir esse valor na primeira equação para encontrar :
Então, o ponto crítico é .

Passo 5

Agora, vamos classificar esse ponto usando o teste da segunda derivada. Para isso, calculamos as derivadas segundas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 0
fxy = partial^2 fpartial x partial y = -2
O determinante da matriz Hessiana é dado por:
D = fxxfyy - (fxy)^2
Substituindo D = (6 cdot 0)(0) - (-2)^2 = 0 - 4 = -4 :
Como , o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é e ele é um ponto de sela.

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