Encontre os extremantes locais das funções abaixo e classifique-os em pontos de máximo, de mínimo ou de sela
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremantes locais da função
e dizer se eles são pontos de máximo, mínimo ou de sela. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso acontece quando as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Ou seja, precisamos calcular
e
e igualar cada uma a zero.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E em relação a
:
Agora, igualamos cada derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 4
Da segunda equação,
, temos que
. Vamos substituir esse valor na primeira equação para encontrar
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 5
Agora, vamos classificar esse ponto usando o teste da segunda derivada. Para isso, calculamos as derivadas segundas:
O determinante da matriz Hessiana é dado por:
Substituindo
:
Como
, o ponto crítico
é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico é
e ele é um ponto de sela.