Ache o valor da derivada direcional no ponto P0 para a função dada na direção e sentido de U.
h(x, y, z)=cos (x y)+sen(y z) ; U=(-13, 23, 23), P0(2,0,3).

Passo 1

Enunciado: calcular a derivada direcional de h(x,y,z)=cos(xy)+sin(yz) no ponto P0=(2,0,3) na direção de U=(-tfrac13,tfrac23,tfrac23). O conteúdo usado será a definição de derivada direcional via gradiente: DUh(P0)=nabla h(P0)cdot U, lembrando que U deve ser unitário (e aqui já é).

Passo 2

Para calcular o gradiente, derivamos h em relação a cada variável. Obtemos:
partial hpartial x(x,y,z) = -ysin(xy)
partial hpartial y(x,y,z) = -xsin(xy) + zcos(yz)
partial hpartial z(x,y,z) = ycos(yz)

Passo 3

Em P0=(2,0,3), temos xy=2cdot0=0 e yz=0cdot3=0, logo sin(0)=0 e cos(0)=1. Substituindo nessas derivadas:
nabla h(P0) = (0,,3,,0)

Passo 4

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar entre nabla h(P0)=(0,3,0) e U=(-tfrac13,tfrac23,tfrac23):
DUh(P0) = (0,3,0)cdot(-tfrac13,tfrac23,tfrac23) = 0 + 3cdottfrac23 + 0 = 2

Resposta

2

Exercícios relacionados