Encontre uma família de soluções (implícitas) a um parâmetro para cada EDO abaixo.
6 x y+(4 y+9 x^2) d yd x=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma família de soluções implícitas, em um parâmetro, para a equação diferencial de primeira ordem
6xy + l(4y + 9x^2r)dydx = 0
O conteúdo é identificação de uma equação na forma diferencial exata (ou uso de fator integrante) para obter uma solução implícita.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que podemos escrever a EDO na forma diferencial:
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
onde
M(x,y) = 6xy,
N(x,y) = 4y + 9x^2
Queremos ver se é exata, ou se existe um fator integrante simples.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 6x,
partial Npartial x = 18x
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, não é exata. Mas o teste para fator integrante em função de y é
partial Npartial x-partial Mpartial yM = 18x-6x6xy = 12x6xy = 2y,
que depende apenas de y. Logo, um fator integrante é
mu(y) = expgl(integral 2y ,dygr) = y^2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial por mu(y)=y^2:
6x y^3,dx + l(4y + 9x^2r)y^2,dy = 0
e obtemos
M^*(x,y) = 6x y^3,
N^*(x,y) = 4y^3 + 9x^2 y^2
Agora conferimos que é exata:
partial M^*partial y = 18x y^2,
partial N^*partial x = 18x y^2

Passo 5

Como é exata, existe uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M^* = 6x y^3
e
partial Psipartial y = N^* = 4y^3 + 9x^2 y^2
Integramos partial Psi/partial x em relação a x:
Psi(x,y) = integral 6x y^3 ,dx = 3x^2 y^3 + h(y)
Derivando em y e comparando com N^*:
ddyl(3x^2 y^3 + h(y)r) = 9x^2 y^2 + h'(y) = 4y^3 + 9x^2 y^2
implica h'(y)=4y^3, então h(y)=y^4.

Passo 6

Portanto, a função potencial é
Psi(x,y) = 3x^2 y^3 + y^4,
e a solução implícita geral (com constante C) vem de
Psi(x,y) = C
ou seja
3x^2 y^3 + y^4 = C

Resposta

3x2y3 + y^4 = C

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