Encontre uma família de soluções (implícitas) a um parâmetro para cada EDO abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma família de soluções implícitas, em um parâmetro, para a equação diferencial de primeira ordem
O conteúdo é identificação de uma equação na forma diferencial exata (ou uso de fator integrante) para obter uma solução implícita.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que podemos escrever a EDO na forma diferencial:
onde
Queremos ver se é exata, ou se existe um fator integrante simples.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, não é exata. Mas o teste para fator integrante em função de
é
que depende apenas de
. Logo, um fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial por
:
e obtemos
Agora conferimos que é exata:
Passo 5
Como é exata, existe uma função potencial
tal que
e
Integramos
em relação a
:
Derivando em
e comparando com
:
implica
, então
.
Passo 6
Portanto, a função potencial é
e a solução implícita geral (com constante
) vem de
ou seja
Resposta
3x2y3 + y^4 = C