Encontre uma família de soluções (implícitas) a um parâmetro para cada EDO abaixo.
Passo 1
A EDO dada é y(x+y+1)+(x+2y)\frac{dy}{dx}=0. Estamos no tema de equações diferenciais de primeira ordem, mais especificamente equações exatas e fator integrante. Para resolver, vamos checar se é exata e, se não for, encontrar um fator integrante em função de x.
Passo 2
Identificamos as funções
M(x,y)=xy+y^2+y
N(x,y)=x+2y
A equação fica M(x,y),dx+N(x,y),dy=0.
M(x,y)=xy+y^2+y
N(x,y)=x+2y
A equação fica M(x,y),dx+N(x,y),dy=0.
Passo 3
Verificamos se é exata calculando
e
Como não são iguais, não é exata. Em seguida calculamos
que depende só de x. Logo existe fator integrante
tal que
resultando em
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, ficando
que agora é exata. Procuramos uma função potencial
Integramos em x (y constante):
Passo 5
Derivando em relação a y:
Isso implica
, ou seja,
é constante. Assim a função potencial vale
e a solução implícita da EDO é
Resposta
e^x,y(x+y)=C