Encontre uma família de soluções (implícitas) a um parâmetro para cada EDO abaixo.
y(x+y+1)+(x+2 y) d yd x=0

Passo 1

A EDO dada é y(x+y+1)+(x+2y)\frac{dy}{dx}=0. Estamos no tema de equações diferenciais de primeira ordem, mais especificamente equações exatas e fator integrante. Para resolver, vamos checar se é exata e, se não for, encontrar um fator integrante em função de x.

Passo 2

Identificamos as funções
M(x,y)=xy+y^2+y
N(x,y)=x+2y
A equação fica M(x,y),dx+N(x,y),dy=0.

Passo 3

Verificamos se é exata calculando
partial Mpartial y=x+2y+1
e
partial Npartial x=1
Como não são iguais, não é exata. Em seguida calculamos
partial M/partial y-partial N/partial xN=(x+2y+1)-1x+2y=1,
que depende só de x. Logo existe fator integrante mu(x) tal que
mu'(x)mu(x)=1
resultando em mu(x)=e^x.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por e^x, ficando
e^x(xy+y^2+y),dx+e^x(x+2y),dy=0
que agora é exata. Procuramos uma função potencial U(x,y) tal que
partial Upartial x=e^x(xy+y^2+y)
Integramos em x (y constante):
U(x,y)=y e^x(x-1)+y^2e^x+y e^x+h(y)

Passo 5

Derivando em relação a y:
partial Upartial y=e^x(x-1)+2ye^x+e^x+h'(y)=e^x(x+2y)
Isso implica h'(y)=0, ou seja, h(y) é constante. Assim a função potencial vale
U(x,y)=e^x,y(x+y)
e a solução implícita da EDO é
U(x,y)=C

Resposta

e^x,y(x+y)=C

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