Ache o valor da derivada direcional no ponto P_{0} para a função dada na direção e sentido de u.
(a) f(x, y)=x^{2}-2 x y^{2} ; u=\left(\cos \left(\frac{\pi}{4}\right), \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right), P_{0}(-1,2).
(b) f(x, y, z)=\ln \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ; u=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}\right), P_{0}(1,3,2).

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada direcional no ponto P_{0} na direção e sentido do vetor u para duas funções diferentes.
Dados do item (a):
  • Função: f(x,y)=x^{2}-2xy^{2}.
  • Vetor direção: u=\big(\cos\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big),\;\sin\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)\big).
  • Ponto: P_{0}=(-1,2).
Dados do item (b):
  • Função: f(x,y,z)=\ln\!\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big).
  • Vetor direção: u=\big(\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\big).
  • Ponto: P_{0}=(1,3,2).
O que se pede em cada item: o valor numérico da derivada direcional de f em P_{0} ao longo do vetor u.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha passo a passo):
  1. A derivada direcional de uma função f no ponto P_{0} na direção do vetor unitário u é o quanto f varia quando nós nos movemos infinitesimalmente em P_{0} na direção de u. Matematicamente, se u é unitário, então a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de f em P_{0} e u:
D_{u}f(P_{0})=\nabla f(P_{0})\cdot u.
  1. O gradiente \nabla f é o vetor formado pelas derivadas parciais de f. Por exemplo, para f(x,y),
\nabla f(x,y)=\big(\partial_{x}f(x,y),\;\partial_{y}f(x,y)\big),
onde \partial_{x}f significa "derivada parcial de f em relação a x" (ou seja, tratamos y como constante ao derivar em x), e similar para \partial_{y}f.
  1. Para funções com mais variáveis procedemos do mesmo modo: derivadas parciais em cada coordenada compõem o gradiente.
  2. Importante: o vetor u precisa ser unitário. Se o vetor dado não for unitário, devemos dividir pelo seu módulo. Se for unitário, usamos-o diretamente. Sempre verifique rapidamente o módulo de u.
Agora aplicamos isso item a item.

Passo 3

Resolução do item (a) passo a passo.
  1. Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}-2xy^{2}.
  • Derivada parcial em relação a x:
\partial_{x}f(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}-2xy^{2}\big)=2x-2y^{2}.
Explicando: ao derivar x^{2} em relação a x obtemos 2x. No termo -2xy^{2}, y^{2} é tratado como constante, então deriva-se -2x dando -2y^{2}.
  • Derivada parcial em relação a y:
\partial_{y}f(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}-2xy^{2}\big)=-4xy.
Explicando: x^{2} é constante em relação a y (deriva para 0). Para -2x y^{2}, tratamos x como constante e derivamos y^{2} obtendo 2y, então -2x\cdot 2y = -4xy.
  1. Montar o gradiente e avaliá-lo em P_{0}=(-1,2):
\nabla f(x,y)=\big(2x-2y^{2},\; -4xy\big).
\nabla f(-1,2)=\big(2(-1)-2(2)^{2},\; -4(-1)(2)\big)=\big(-2-8,\; 8\big)=\big(-10,\;8\big).
  1. Verificar o vetor u. Do enunciado u=(\cos(\pi/4),\sin(\pi/4)). Sabemos que
\cos\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\sin\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\frac{\sqrt{2}}{2},
logo
u=\Big(\frac{\sqrt{2}}{2},\;\frac{\sqrt{2}}{2}\Big).
Este é um vetor unitário (comprimento 1), então podemos usá-lo diretamente.
  1. Calcular a derivada direcional como produto escalar:
D_{u}f(-1,2)=\nabla f(-1,2)\cdot u = (-10,8)\cdot\Big(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\Big).
Fazendo o produto escalar:
D_{u}f(-1,2)= -10\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + 8\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = (-10+8)\frac{\sqrt{2}}{2} = -2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}.
Portanto, o resultado do item (a) é -\sqrt{2}.

Passo 4

Resolução do item (b) passo a passo.
  1. Identificar a função f(x,y,z)=\ln\!\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big). Vamos calcular as derivadas parciais. Seja g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}. Então f=\ln(g). Pela regra da cadeia,
\partial_{x}f=\frac{1}{g}\cdot \partial_{x}g = \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\cdot 2x = \frac{2x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Analogamente,
\partial_{y}f=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\qquad \partial_{z}f=\frac{2z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Explicando: derivada de \ln é 1/ argumento vezes derivada do argumento; derivada de x^{2} em relação a x é 2x, etc.
  1. Montar o gradiente:
\nabla f(x,y,z)=\frac{2}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,(x,y,z).
  1. Avaliar o gradiente em P_{0}=(1,3,2). Primeiro calculemos x^{2}+y^{2}+z^{2} em P_{0}:
1^{2}+3^{2}+2^{2}=1+9+4=14.
Logo
\nabla f(1,3,2)=\frac{2}{14}\,(1,3,2)=\frac{1}{7}\,(1,3,2)=\Big(\frac{1}{7},\frac{3}{7},\frac{2}{7}\Big).
  1. Verificar o vetor u=\big(\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\big). Vamos checar rapidamente se é unitário:
\Big(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)^{2}+\Big(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)^{2}+\Big(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)^{2} =\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}=1.
Portanto é unitário — bom, podemos usar direto.
  1. Calcular o produto escalar:
D_{u}f(1,3,2)=\nabla f(1,3,2)\cdot u = \Big(\frac{1}{7},\frac{3}{7},\frac{2}{7}\Big)\cdot\Big(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}\Big).
Fazendo o produto:
D_{u}f(1,3,2)=\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{3}{7}\cdot\Big(-\frac{1}{\sqrt{3}}\Big)+\frac{2}{7}\cdot\Big(-\frac{1}{\sqrt{3}}\Big).
D_{u}f(1,3,2)=\frac{1-3-2}{7\sqrt{3}}=\frac{-4}{7\sqrt{3}}.
Opcionalmente podemos racionalizar o denominador multiplicando por \sqrt{3}/\sqrt{3}:
D_{u}f(1,3,2)=-\frac{4\sqrt{3}}{21}.
Ambas formas são equivalentes. Vou apresentar a forma sem racionalizar e também a racionalizada na resposta se preferir verificar.

Passo 5

Dica rápida pra prova (emocionante, eu sei): sempre que pedirem derivada direcional memorize mentalmente: “calcula gradiente, garante que o vetor é unitário, faz produto escalar”. Isso resolve a maioria dos problemas rapidamente. Força aí — você consegue!

Resposta

(a) -\sqrt{2}
(b) -\dfrac{4}{7\sqrt{3}} (equivalente a -\dfrac{4\sqrt{3}}{21})

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