Ache o valor da derivada direcional no ponto
para a função dada na direção e sentido de
.
(a)
.
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada direcional no ponto
na direção e sentido do vetor
para duas funções diferentes.
Dados do item (a):
- Função:
. - Vetor direção:
. - Ponto:
.
Dados do item (b):
- Função:
. - Vetor direção:
. - Ponto:
.
O que se pede em cada item: o valor numérico da derivada direcional de
em
ao longo do vetor
.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha passo a passo):
- A derivada direcional de uma função
no ponto na direção do vetor unitário é o quanto varia quando nós nos movemos infinitesimalmente em na direção de . Matematicamente, se é unitário, então a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de em e :
- O gradiente
é o vetor formado pelas derivadas parciais de . Por exemplo, para ,
onde
significa "derivada parcial de
em relação a
" (ou seja, tratamos
como constante ao derivar em
), e similar para
.
-
Para funções com mais variáveis procedemos do mesmo modo: derivadas parciais em cada coordenada compõem o gradiente.
-
Importante: o vetor
precisa ser unitário. Se o vetor dado não for unitário, devemos dividir pelo seu módulo. Se for unitário, usamos-o diretamente. Sempre verifique rapidamente o módulo de .
Agora aplicamos isso item a item.
Passo 3
Resolução do item (a) passo a passo.
- Calcular as derivadas parciais de
.
- Derivada parcial em relação a
:
Explicando: ao derivar
em relação a
obtemos
. No termo
,
é tratado como constante, então deriva-se
dando
.
- Derivada parcial em relação a
:
Explicando:
é constante em relação a
(deriva para
). Para
, tratamos
como constante e derivamos
obtendo
, então
.
- Montar o gradiente e avaliá-lo em
:
- Verificar o vetor
. Do enunciado . Sabemos que
logo
Este é um vetor unitário (comprimento
), então podemos usá-lo diretamente.
- Calcular a derivada direcional como produto escalar:
Fazendo o produto escalar:
Portanto, o resultado do item (a) é
.
Passo 4
Resolução do item (b) passo a passo.
- Identificar a função
. Vamos calcular as derivadas parciais. Seja . Então . Pela regra da cadeia,
Analogamente,
Explicando: derivada de
é
argumento vezes derivada do argumento; derivada de
em relação a
é
, etc.
- Montar o gradiente:
- Avaliar o gradiente em
. Primeiro calculemos em :
Logo
- Verificar o vetor
. Vamos checar rapidamente se é unitário:
Portanto é unitário — bom, podemos usar direto.
- Calcular o produto escalar:
Fazendo o produto:
Opcionalmente podemos racionalizar o denominador multiplicando por
:
Ambas formas são equivalentes. Vou apresentar a forma sem racionalizar e também a racionalizada na resposta se preferir verificar.
Passo 5
Dica rápida pra prova (emocionante, eu sei): sempre que pedirem derivada direcional memorize mentalmente: “calcula gradiente, garante que o vetor é unitário, faz produto escalar”. Isso resolve a maioria dos problemas rapidamente. Força aí — você consegue!
Resposta
(a)
(b) (equivalente a
)
(b)