Dada a equação diferencial: y "’ +2 y " +3 x y=y, podemos dizer que:
Assinale a(as) alternativa(s) correta(s).
Escolha uma ou mais:
\square a. Essa equação é uma equação diferencial ordinária.
\square b. Essa equação é uma equação diferencial parcial.
\square c. Essa equação não é de ordem 3 .
\square d. Essa equação é linear
\square e. Essa equação é homogênea.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{(3)} + 2y'' + 3xy = y.
Pede-se identificar quais das alternativas são corretas entre:
a) essa equação é uma equação diferencial ordinária;
b) essa equação é uma equação diferencial parcial;
c) essa equação não é de ordem 3;
d) essa equação é linear;
e) essa equação é homogênea.
Informações relevantes dadas no enunciado: a equação envolve derivadas de y em relação a uma única variável (presumivelmente x), há termos com y^{(3)}, y'', um termo 3x y e um termo y no lado direito.

Passo 2

Primeiro passo técnico: colocar a equação na forma padrão com todos os termos no mesmo lado para facilitar a análise. Subtraio y dos dois lados:
y^{(3)} + 2y'' + 3xy - y = 0.
Posso agrupar os termos que multiplicam y:
y^{(3)} + 2y'' + (3x-1)\,y = 0.
Essa é a forma que vou usar para verificar ordem, linearidade e homogeneidade.

Passo 3

Verificação de ser equação diferencial ordinária (EDO) ou parcial (EDP). Definição curta e didática: uma equação diferencial é ordinária quando a função desconhecida depende de uma única variável independente e aparecem apenas derivadas em relação a essa variável; é parcial quando dependem de duas ou mais variáveis independentes e aparecem derivadas parciais. Aqui vemos apenas derivadas y^{(3)} e y'' (derivadas ordinárias) e o coeficiente 3x-1 depende da mesma variável x. Não aparecem derivadas parciais nem mais de uma variável independente. Portanto: a alternativa (a) é correta e a alternativa (b) é incorreta.

Passo 4

Verificação da ordem da equação. Definição: a ordem de uma equação diferencial ordinária é o maior número de derivada presente na equação. Na forma inicial aparece y^{(3)}, que é a derivada de terceira ordem; não há derivadas de ordem superior a 3. Logo a ordem da equação é 3. Assim a alternativa (c) — que afirma que “essa equação não é de ordem 3” — é falsa.

Passo 5

Verificação de linearidade. Definição e método para checar: uma EDO é linear se a função desconhecida y e todas as suas derivadas aparecem apenas em termos lineares (ou seja, somados e multiplicados por funções da variável independente), sem produtos entre y e suas derivadas, sem potências y^2, (y')^3, senos de y, etc. A forma geral de uma EDO linear de ordem n é
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x),
onde os a_i(x) e g(x) são funções apenas da variável independente x. Comparando com
y^{(3)} + 2y'' + (3x-1)\,y = 0,
temos a_3(x)=1, a_2(x)=2, a_1(x)=0, a_0(x)=3x-1 e g(x)=0. Todas as aparições de y e suas derivadas são lineares (não há termos como y^2 ou y y'). Portanto a equação é linear. A alternativa (d) é correta.

Passo 6

Verificação de homogeneidade. Definição prática: uma equação diferencial linear é dita homogênea quando o termo independente (o membro à direita, g(x)) é zero — isto é, quando todos os termos envolvem y ou suas derivadas e a soma é igual a zero. Temos exatamente
y^{(3)} + 2y'' + (3x-1)\,y = 0,
portanto g(x)=0 e a equação é uma equação linear homogênea. Assim a alternativa (e) é correta.

Passo 7

Resumo rápido dos resultados (sem formalidade técnica extra): a equação é uma EDO (uma única variável independente), de ordem 3, linear e homogênea. As alternativas verdadeiras são as que afirmam isso; as falsas negam-no.

Resposta

a. Verdadeira
b. Falsa
c. Falsa
d. Verdadeira
e. Verdadeira

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