Dada a equação diferencial:
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"
, podemos dizer que:
Assinale a(as) alternativa(s) correta(s).
Escolha uma ou mais:
a. Essa equação é uma equação diferencial ordinária.
b. Essa equação é uma equação diferencial parcial.
c. Essa equação não é de ordem 3 .
d. Essa equação é linear
e. Essa equação é homogênea.
Assinale a(as) alternativa(s) correta(s).
Escolha uma ou mais:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
Pede-se identificar quais das alternativas são corretas entre:
a) essa equação é uma equação diferencial ordinária;
b) essa equação é uma equação diferencial parcial;
c) essa equação não é de ordem 3;
d) essa equação é linear;
e) essa equação é homogênea.
Informações relevantes dadas no enunciado: a equação envolve derivadas de em relação a uma única variável (presumivelmente
), há termos com
,
, um termo
e um termo
no lado direito.
a) essa equação é uma equação diferencial ordinária;
b) essa equação é uma equação diferencial parcial;
c) essa equação não é de ordem 3;
d) essa equação é linear;
e) essa equação é homogênea.
Informações relevantes dadas no enunciado: a equação envolve derivadas de
Passo 2
Primeiro passo técnico: colocar a equação na forma padrão com todos os termos no mesmo lado para facilitar a análise. Subtraio
dos dois lados:
Posso agrupar os termos que multiplicam
:
Essa é a forma que vou usar para verificar ordem, linearidade e homogeneidade.
Passo 3
Verificação de ser equação diferencial ordinária (EDO) ou parcial (EDP). Definição curta e didática: uma equação diferencial é ordinária quando a função desconhecida depende de uma única variável independente e aparecem apenas derivadas em relação a essa variável; é parcial quando dependem de duas ou mais variáveis independentes e aparecem derivadas parciais. Aqui vemos apenas derivadas
e
(derivadas ordinárias) e o coeficiente
depende da mesma variável
. Não aparecem derivadas parciais nem mais de uma variável independente. Portanto: a alternativa (a) é correta e a alternativa (b) é incorreta.
Passo 4
Verificação da ordem da equação. Definição: a ordem de uma equação diferencial ordinária é o maior número de derivada presente na equação. Na forma inicial aparece
, que é a derivada de terceira ordem; não há derivadas de ordem superior a 3. Logo a ordem da equação é 3. Assim a alternativa (c) — que afirma que “essa equação não é de ordem 3” — é falsa.
Passo 5
Verificação de linearidade. Definição e método para checar: uma EDO é linear se a função desconhecida
e todas as suas derivadas aparecem apenas em termos lineares (ou seja, somados e multiplicados por funções da variável independente), sem produtos entre
e suas derivadas, sem potências
,
, senos de
, etc. A forma geral de uma EDO linear de ordem
é
onde os
e
são funções apenas da variável independente
. Comparando com
temos
,
,
,
e
. Todas as aparições de
e suas derivadas são lineares (não há termos como
ou
). Portanto a equação é linear. A alternativa (d) é correta.
Passo 6
Verificação de homogeneidade. Definição prática: uma equação diferencial linear é dita homogênea quando o termo independente (o membro à direita,
) é zero — isto é, quando todos os termos envolvem
ou suas derivadas e a soma é igual a zero. Temos exatamente
portanto
e a equação é uma equação linear homogênea. Assim a alternativa (e) é correta.
Passo 7
Resumo rápido dos resultados (sem formalidade técnica extra): a equação é uma EDO (uma única variável independente), de ordem 3, linear e homogênea. As alternativas verdadeiras são as que afirmam isso; as falsas negam-no.
Resposta
a. Verdadeira
b. Falsa
c. Falsa
d. Verdadeira
e. Verdadeira
b. Falsa
c. Falsa
d. Verdadeira
e. Verdadeira