Ache o gradiente da função dada.
g(x, y, z)=x e^{-2 y} \operatorname{sec} (z).

Passo 1

O enunciado dá a função g de três variáveis
g(x,y,z)=x e^{-2 y}\operatorname{sec}(z)
e pede para achar o gradiente de g. As informações relevantes são:
  • A função depende de x, y e z.
  • Há um produto entre três fatores: x, e^{-2y} e \operatorname{sec}(z).
    A pergunta que devemos responder é: qual é o vetor gradiente \nabla g(x,y,z), composto pelas derivadas parciais \dfrac{\partial g}{\partial x}, \dfrac{\partial g}{\partial y} e \dfrac{\partial g}{\partial z}?

Passo 2

O que é o gradiente e como calcular cada componente?
  • O gradiente de uma função g(x,y,z) é o vetor das derivadas parciais:
\nabla g(x,y,z)=\left(\dfrac{\partial g}{\partial x},\dfrac{\partial g}{\partial y},\dfrac{\partial g}{\partial z}\right).
  • Derivada parcial significa derivar a função em relação a uma variável, tratando as outras como constantes.
    Vou calcular cada derivada parcial separadamente, explicando as regras usadas (regra do produto e regra da cadeia) e as derivadas elementares necessárias.

Passo 3

Derivada parcial em relação a x: \dfrac{\partial g}{\partial x}.
Aqui e^{-2y} e \operatorname{sec}(z) são constantes quando derivamos por x. A derivada de x é 1. Portanto,
\dfrac{\partial g}{\partial x}=e^{-2y}\operatorname{sec}(z).
Explicação curta das regras usadas: regra do produto com fator x e fatores constantes resulta em multiplicar as constantes pela derivada de x, que é 1.

Passo 4

Derivada parcial em relação a y: \dfrac{\partial g}{\partial y}.
Aqui x e \operatorname{sec}(z) são constantes. O fator que depende de y é e^{-2y}. Usamos a regra da cadeia para exponenciais:
  • Derivada de e^{u(y)} em relação a y é e^{u(y)}\cdot u'(y).
    No nosso caso u(y)=-2y, logo u'(y)=-2. Assim,
\dfrac{\partial}{\partial y}\big(e^{-2y}\big)=e^{-2y}\cdot(-2)=-2e^{-2y}.
Multiplicando pelos fatores constantes x e \operatorname{sec}(z), obtemos
\dfrac{\partial g}{\partial y}=-2x e^{-2y}\operatorname{sec}(z).

Passo 5

Derivada parcial em relação a z: \dfrac{\partial g}{\partial z}.
Aqui x e e^{-2y} são constantes. O fator que depende de z é \operatorname{sec}(z). Precisamos da derivada de \operatorname{sec}(z):
  • Derivada de \operatorname{sec} z é \operatorname{sec} z\tan z.
    Portanto,
\dfrac{\partial}{\partial z}\big(\operatorname{sec} z\big)=\operatorname{sec} z\tan z.
Multiplicando pelos constantes x e e^{-2y}, obtemos
\dfrac{\partial g}{\partial z}=x e^{-2y}\operatorname{sec}(z)\tan(z).

Passo 6

Observação útil (fator comum): todos os três componentes têm o fator comum e^{-2y}\operatorname{sec}(z) e, exceto o primeiro, multiplicam por x. Podemos reescrever os componentes individuais (já calculados) para ver a estrutura, sem formar ainda o vetor final:
\dfrac{\partial g}{\partial x}=e^{-2y}\operatorname{sec}(z), \qquad \dfrac{\partial g}{\partial y}=-2x e^{-2y}\operatorname{sec}(z), \qquad \dfrac{\partial g}{\partial z}=x e^{-2y}\operatorname{sec}(z)\tan(z).
Isso ajuda a entender padrões: sempre que ver um produto de funções separáveis como aqui, é comum aparecer um fator comum nas parciais.

Resposta

\nabla g(x,y,z)=\left(e^{-2y}\operatorname{sec}(z),\;-2x e^{-2y}\operatorname{sec}(z),\;x e^{-2y}\operatorname{sec}(z)\tan(z)\right)

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