Ache o gradiente da função dada.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
de três variáveis
e pede para achar o gradiente de
. As informações relevantes são:
- A função depende de
, e . - Há um produto entre três fatores:
, e .
A pergunta que devemos responder é: qual é o vetor gradiente, composto pelas derivadas parciais , e ?
Passo 2
O que é o gradiente e como calcular cada componente?
- O gradiente de uma função
é o vetor das derivadas parciais:
- Derivada parcial significa derivar a função em relação a uma variável, tratando as outras como constantes.
Vou calcular cada derivada parcial separadamente, explicando as regras usadas (regra do produto e regra da cadeia) e as derivadas elementares necessárias.
Passo 3
Derivada parcial em relação a
:
.
Aqui e
são constantes quando derivamos por
. A derivada de
é
. Portanto,
Aqui
Explicação curta das regras usadas: regra do produto com fator
e fatores constantes resulta em multiplicar as constantes pela derivada de
, que é
.
Passo 4
Derivada parcial em relação a
:
.
Aqui e
são constantes. O fator que depende de
é
. Usamos a regra da cadeia para exponenciais:
Aqui
- Derivada de
em relação a é .
No nosso caso, logo . Assim,
Multiplicando pelos fatores constantes
e
, obtemos
Passo 5
Derivada parcial em relação a
:
.
Aqui e
são constantes. O fator que depende de
é
. Precisamos da derivada de
:
Aqui
- Derivada de
é .
Portanto,
Multiplicando pelos constantes
e
, obtemos
Passo 6
Observação útil (fator comum): todos os três componentes têm o fator comum
e, exceto o primeiro, multiplicam por
. Podemos reescrever os componentes individuais (já calculados) para ver a estrutura, sem formar ainda o vetor final:
Isso ajuda a entender padrões: sempre que ver um produto de funções separáveis como aqui, é comum aparecer um fator comum nas parciais.