Considere a região plana delimitada pelas curvas y^{2}=x e y=x^{3}. Faça uma figura identificando a região e calcule o volume do sólido obtido quando esta região gira em torno do eixo x.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) fazer uma figura identificando a região plana limitada pelas curvas y^{2}=x e y=x^{3}; (2) calcular o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo x.
Informações dadas:
As curvas são y^{2}=x e y=x^{3}.
O eixo de rotação é o eixo x.
O que precisamos encontrar explicitamente:
Os pontos de interseção das duas curvas (para saber os limites da região).
A descrição da região (qual curva está acima/abaixo entre esses pontos).
O volume do sólido de revolução quando essa região gira em torno do eixo x.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção das curvas. Para interseção, ambas as equações devem ser satisfeitas simultaneamente. A partir de y^{2}=x temos x=y^{2}. Substituindo em y=x^{3} obtemos:
y = (y^{2})^{3} = y^{6}.
Isso dá a equação
y^{6}-y=0.
Fatorando:
y(y^{5}-1)=0.
Logo as soluções reais são y=0 e y=1 (as outras raízes de y^{5}=1 são complexas). Usando x=y^{2}, os pontos de interseção no plano (x,y) são (0,0) e (1,1).
Passo 3
Identificar a região entre as curvas para x entre os pontos de interseção.
Primeiro, escrevemos as curvas em forma y= para comparar alturas:
Da equação y^{2}=x obtemos as duas ramas y=+\sqrt{x} e y=-\sqrt{x}. A rama positiva é y=\sqrt{x}.
A outra curva já está em forma y=x^{3}.
Para 0\le x\le 1 temos x^{3}\ge 0 e \sqrt{x}\ge 0. Compare x^{3} e \sqrt{x}:
pois x^{1/2} decresce menos que x^{3} em [0,1] e em x=0,1 são iguais. Portanto, no intervalo 0\le x\le 1 a curva superior é y=\sqrt{x} e a curva inferior é y=x^{3}.
Desenho (como fazer a figura): esboce o eixo x horizontal. A curva y=\sqrt{x} é a rama superior da parábola x=y^{2} abrindo para a direita; passa por (0,0) e (1,1). A curva y=x^{3} é uma cúbica que também passa por (0,0) e (1,1), ficando abaixo de \sqrt{x} entre esses pontos. A região pedida é a “faixa” entre essas duas curvas para 0\le x\le 1 (apenas no primeiro quadrante). Marque claramente os pontos (0,0) e (1,1) e sombreie a região entre y=x^{3} e y=\sqrt{x}.
Passo 4
Escolher o método de cálculo do volume e justificar.
Como o eixo de rotação é o eixo x e a região é naturalmente descrita por funções y em função de x (com limites em x de 0 a 1), o método mais simples é o método dos discos/anelos (washers). Explicando a ideia didaticamente:
Pegamos um pequeno segmento da região perpendicular ao eixo x em x fixo e de espessura dx.
Ao girar essa fatia ao redor do eixo x, obtemos um anel (disco com um furo). O volume desse anel elementar é a área da secção transversal multiplicada por dx.
A área da secção transversal (anel) é \pi R^{2}-\pi r^{2}, onde:
R é o raio externo (distância do eixo x até a curva superior),
r é o raio interno (distância do eixo x até a curva inferior).
No nosso caso:
Raio externo R(x)= valor de y da curva superior =\sqrt{x}.
Raio interno r(x)= valor de y da curva inferior =x^{3}.
Portanto o elemento de volume é
dV = \pi\bigl(R(x)^{2}-r(x)^{2}\bigr)\,dx = \pi\bigl((\sqrt{x})^{2}-(x^{3})^{2}\bigr)\,dx.
Interpretação e checagem rápida (pequena aula extras para fixar).
Fizemos a escolha de integrar em x porque as funções estavam dadas como y em função de x e o eixo de rotação é x. Isso torna o uso de discos/anelos direto.
Se tivéssemos rotacionado em torno do eixo y, seria mais natural reescrever as curvas como x em função de y e usar discos em y.
Exemplo simples de verificação: se a região fosse entre y=1 e y=0 para 0\le x\le1, o volume seria \pi\int_{0}^{1}1\,dx=\pi, procedimento análogo ao que fizemos.
Você mandou bem pedindo passo a passo — essa é a forma que cai na prova: ache interseções, identifique curvas superior/inferior, escolha variável e método, escreva dV=\pi(R^{2}-r^{2})\,dx e integre. Força aí que tá no caminho certo!