Considere a região plana delimitada pelas curvas y^{2}=x e y=x^{3}. Faça uma figura identificando a região e calcule o volume do sólido obtido quando esta região gira em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) fazer uma figura identificando a região plana limitada pelas curvas y^{2}=x e y=x^{3}; (2) calcular o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo x.
Informações dadas:
  • As curvas são y^{2}=x e y=x^{3}.
  • O eixo de rotação é o eixo x.
O que precisamos encontrar explicitamente:
  • Os pontos de interseção das duas curvas (para saber os limites da região).
  • A descrição da região (qual curva está acima/abaixo entre esses pontos).
  • O volume do sólido de revolução quando essa região gira em torno do eixo x.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das curvas. Para interseção, ambas as equações devem ser satisfeitas simultaneamente. A partir de y^{2}=x temos x=y^{2}. Substituindo em y=x^{3} obtemos:
y = (y^{2})^{3} = y^{6}.
Isso dá a equação
y^{6}-y=0.
Fatorando:
y(y^{5}-1)=0.
Logo as soluções reais são y=0 e y=1 (as outras raízes de y^{5}=1 são complexas). Usando x=y^{2}, os pontos de interseção no plano (x,y) são (0,0) e (1,1).

Passo 3

Identificar a região entre as curvas para x entre os pontos de interseção.
Primeiro, escrevemos as curvas em forma y= para comparar alturas:
  • Da equação y^{2}=x obtemos as duas ramas y=+\sqrt{x} e y=-\sqrt{x}. A rama positiva é y=\sqrt{x}.
  • A outra curva já está em forma y=x^{3}.
Para 0\le x\le 1 temos x^{3}\ge 0 e \sqrt{x}\ge 0. Compare x^{3} e \sqrt{x}:
\sqrt{x}-x^{3}=x^{1/2}-x^{3}>0\quad\text{para }0<x<1,
pois x^{1/2} decresce menos que x^{3} em [0,1] e em x=0,1 são iguais. Portanto, no intervalo 0\le x\le 1 a curva superior é y=\sqrt{x} e a curva inferior é y=x^{3}.
Desenho (como fazer a figura): esboce o eixo x horizontal. A curva y=\sqrt{x} é a rama superior da parábola x=y^{2} abrindo para a direita; passa por (0,0) e (1,1). A curva y=x^{3} é uma cúbica que também passa por (0,0) e (1,1), ficando abaixo de \sqrt{x} entre esses pontos. A região pedida é a “faixa” entre essas duas curvas para 0\le x\le 1 (apenas no primeiro quadrante). Marque claramente os pontos (0,0) e (1,1) e sombreie a região entre y=x^{3} e y=\sqrt{x}.

Passo 4

Escolher o método de cálculo do volume e justificar.
Como o eixo de rotação é o eixo x e a região é naturalmente descrita por funções y em função de x (com limites em x de 0 a 1), o método mais simples é o método dos discos/anelos (washers). Explicando a ideia didaticamente:
  • Pegamos um pequeno segmento da região perpendicular ao eixo x em x fixo e de espessura dx.
  • Ao girar essa fatia ao redor do eixo x, obtemos um anel (disco com um furo). O volume desse anel elementar é a área da secção transversal multiplicada por dx.
  • A área da secção transversal (anel) é \pi R^{2}-\pi r^{2}, onde:
    • R é o raio externo (distância do eixo x até a curva superior),
    • r é o raio interno (distância do eixo x até a curva inferior).
No nosso caso:
  • Raio externo R(x)= valor de y da curva superior =\sqrt{x}.
  • Raio interno r(x)= valor de y da curva inferior =x^{3}.
Portanto o elemento de volume é
dV = \pi\bigl(R(x)^{2}-r(x)^{2}\bigr)\,dx = \pi\bigl((\sqrt{x})^{2}-(x^{3})^{2}\bigr)\,dx.

Passo 5

Montar e calcular a integral do volume.
Primeiro simplificamos os quadrados dos raios:
(\sqrt{x})^{2}=x,\qquad (x^{3})^{2}=x^{6}.
Assim o volume total é
V=\int_{x=0}^{1}\pi\bigl(x-x^{6}\bigr)\,dx = \pi\int_{0}^{1}\bigl(x-x^{6}\bigr)\,dx.
Agora integramos termo a termo. Lembrando a regra básica: \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
Calcule:
\int_{0}^{1} x\,dx = \left.\dfrac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\dfrac{1^{2}}{2}-0=\dfrac{1}{2},
\int_{0}^{1} x^{6}\,dx = \left.\dfrac{x^{7}}{7}\right|_{0}^{1}=\dfrac{1^{7}}{7}-0=\dfrac{1}{7}.
Substituindo na integral:
V = \pi\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{7}\right).
Fazendo a subtração de frações:
\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{7}=\dfrac{7}{14}-\dfrac{2}{14}=\dfrac{5}{14}.
Portanto
V=\pi\cdot\dfrac{5}{14}=\dfrac{5\pi}{14}.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida (pequena aula extras para fixar).
  • Fizemos a escolha de integrar em x porque as funções estavam dadas como y em função de x e o eixo de rotação é x. Isso torna o uso de discos/anelos direto.
  • Se tivéssemos rotacionado em torno do eixo y, seria mais natural reescrever as curvas como x em função de y e usar discos em y.
  • Exemplo simples de verificação: se a região fosse entre y=1 e y=0 para 0\le x\le1, o volume seria \pi\int_{0}^{1}1\,dx=\pi, procedimento análogo ao que fizemos.
Você mandou bem pedindo passo a passo — essa é a forma que cai na prova: ache interseções, identifique curvas superior/inferior, escolha variável e método, escreva dV=\pi(R^{2}-r^{2})\,dx e integre. Força aí que tá no caminho certo!

Resposta

\dfrac{5\pi}{14}

Exercícios relacionados