Ache o valor da integral dupla integral duplaR(3 x-2 y+1) d A onde R é a região retângular com vértices (0,0),(2,0),(0,3) e (2,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla . Basicamente, isso significa que vamos somar todos os valores da função dentro da região , que é um retângulo com vértices em , , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites da integral para um retângulo e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. Como integral duplaR f(x, y) , dA = integralymin^ymax integralxmin^xmax f(x, y) , dx , dy é um retângulo que vai de até e de até , podemos escrever a integral dupla como duas integrais simples, uma em relação a e outra em relação a . A fórmula geral para uma integral dupla sobre uma região retangular é:
No nosso caso, varia de 0 a 2 e de 0 a 3.

Passo 3

Agora, vamos substituir a função integral duplaR(3x - 2y + 1) , dA = integral0^3 integral0^2 (3x - 2y + 1) , dx , dy nos limites que encontramos:
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a .

Passo 4

Para resolver a integral interna integral0^2 3x , dx = 32x^2 |0^2 = 32(4) - 32(0) = 6 , tratamos integral0^2 (-2y) , dx = -2y cdot x |0^2 = -2y(2) + 2y(0) = -4y como uma constante porque estamos integrando em relação a integral0^2 1 , dx = x |0^2 = 2 - 0 = 2 . Vamos integrar cada termo separadamente:
6 - 4y + 2 = 8 - 4y
Agora, somando os resultados:

Passo 5

Agora que temos o resultado da integral interna, substituímos na integral externa:
integral0^3 (8 - 4y) , dy
Vamos resolver essa integral em relação a integral0^3 8 , dy = 8y |0^3 = 8(3) - 8(0) = 24 :
integral0^3 (-4y) , dy = -4 cdot y^22 |0^3 = -2y^2 |0^3 = -2(9) + 2(0) = -18
24 - 18 = 6
Somando os resultados:

Resposta

O valor da integral dupla é 6.

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