Ache o valor da integral dupla onde é a região retângular com vértices e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla . Basicamente, isso significa que vamos somar todos os valores da função dentro da região , que é um retângulo com vértices em , , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites da integral para um retângulo e depois calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. Como é um retângulo que vai de até e de até , podemos escrever a integral dupla como duas integrais simples, uma em relação a e outra em relação a . A fórmula geral para uma integral dupla sobre uma região retangular é:
No nosso caso, varia de 0 a 2 e de 0 a 3.
Passo 3
Agora, vamos substituir a função nos limites que encontramos:
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a .
Passo 4
Para resolver a integral interna , tratamos como uma constante porque estamos integrando em relação a . Vamos integrar cada termo separadamente:
Agora, somando os resultados:
Passo 5
Agora que temos o resultado da integral interna, substituímos na integral externa:
integral0^3 (8 - 4y) , dy
Vamos resolver essa integral em relação a integral0^3 8 , dy = 8y |0^3 = 8(3) - 8(0) = 24 :