Esboce a região de integração e calcule as integrais iteradas
integral0^3 integral0^x x^2 e^x y d y d x

Passo 1

O exercício pede para esboçar a região de integração dada por 0<= x<=3 e 0<= y<= x, e em seguida calcular a integral iterada integral0^3integral0^xx^2e^xy,dy,dx. O conteúdo envolve integrais iteradas e técnicas de integração por substituição.

Passo 2

A região de integração é um triângulo no primeiro quadrante limitado pelas retas x=0, y=0 e y=x. No plano xy, esse triângulo tem vértices em (0,0), (3,0) e (3,3).

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em relação a y. Como x é constante nessa etapa, temos:
integral0^xx^2e^xy,dy = x^2integral0^xe^xy,dy
Fazendo a substituição t=xy, logo dt = x,dy e dy = dt/x, os limites vão de t=0 até t=x^2. Assim:
integral0^xx^2e^xy,dy = x^2integral0^x^2e^tdtx = xintegral0^x^2e^t,dt = xl(e^x^2-1r)

Passo 4

Agora integramos em x:
integral0^3xl(e^x^2-1r)dx = integral0^3x e^x^2,dx - integral0^3x,dx
Calculando separadamente:
integral0^3x e^x^2,dx = 12e^x^2|0^3 = 12(e^9-1),
integral0^3x,dx = x^22|0^3 = 92
Subtraindo os resultados:
12(e^9-1) - 92 = e^9-1-92 = e^9-102

Resposta

e^9-102

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