Calcule a integral dupla integral duplaR e^x y d A onde R=[0,1] times[0,1].

Passo 1

A questão pede para calcular a integral dupla integral duplaR e^xy,dA no quadrado R=[0,1]times[0,1]. O conteúdo aqui é integração dupla e usaremos a expansão em série de Taylor de e^u para resolver, além de conhecer a troca de soma e integral em séries uniformemente convergentes.

Passo 2

Escrevendo e^xy como série de Taylor em torno de zero, temos:
e^xy = sumn=0^infty (xy)^nn!
Como essa série converge uniformemente em R, podemos trocar a soma pela integral na integral dupla.

Passo 3

Trocando soma e integral e separando as integrais em x e y, fica:
integral duplaR e^xy,dA = integral0^1integral0^1 sumn=0^infty (xy)^nn!,dx,dy = sumn=0^infty 1n! integral0^1 x^n,dx integral0^1 y^n,dy

Passo 4

Calculando as integrais separadas:
$$\int_0^1 x^n,dx = \frac{1}{n+1},\quad\int_0^1 y^n,dy = \frac{1}{n+1},
integral0^1 x^n,dx = 1n+1,integral0^1 y^n,dy = 1n+1, \iint_R e^{xy},dA
= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \frac{1}{(n+1)^2}
= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k,k!},
$$ onde na última passagem fizemos a troca de índice integral duplaR e^xy,dA = sumn=0^infty 1n! 1(n+1)^2 = sumk=1^infty 1k,k!, .

Resposta

sumk=1^infty 1k,k!

Exercícios relacionados