Calcule a integral dupla
onde
.
Passo 1
A questão pede para calcular a integral dupla
no quadrado
. O conteúdo aqui é integração dupla e usaremos a expansão em série de Taylor de
para resolver, além de conhecer a troca de soma e integral em séries uniformemente convergentes.
Passo 2
Escrevendo
como série de Taylor em torno de zero, temos:
Como essa série converge uniformemente em
, podemos trocar a soma pela integral na integral dupla.
Passo 3
Trocando soma e integral e separando as integrais em
e
, fica:
Passo 4
Calculando as integrais separadas:
$$\int_0^1 x^n,dx = \frac{1}{n+1},\quad\int_0^1 y^n,dy = \frac{1}{n+1},
= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \frac{1}{(n+1)^2}
= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k,k!},
= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k,k!},
$$ onde na última passagem fizemos a troca de índice
.